数学
大学生・専門学校生・社会人
やさしい理系数学例題3（2）整数分野の証明問題です。
模範解答の意味は理解できますが、16で割ったあまりで分類しようと考えるに至る過程がわかりません。
あり、その最大数はab である。
この定理について興味のある方は, 「ハイレベル理系数学」の例題3と演習問題
14 を参照されたい.
例題 3
正の整数a,b,cが
a+b2=c2
をみたすとき,次の (1), (2), (3) を証明せよ .
(1) a, b のいずれかは3の倍数である.
(2) a,b のいずれかは4の倍数である.
(3)
a,b,cのいずれかは5の倍数である.
考え方 任意の整数は, 3m, 3m±1 (mは整数) などの形で表せる.
【解答】
(1) 任意の整数は3m,3m±1 (m∈Z) のいずれかの形で表せ,
(3m)2 = 0,
(mod3)
(3m±1)²=1.
よって, a, b がともに3の倍数でないとすると,
∫(a2+62)÷3の余りは,2
lc²÷3の余りは,
0,1
であるから, a2+b2=c2 となり矛盾.
ゆえに,d2+b2=c2 のとき, a, 6 のいずれかは3の倍数である.
(2) 任意の整数は 4m, 4m±1,4m+2 (mez) のいずれかの形で表せ ,
(4m)²=8.2m²
= 0,
(4m±1)²=8(2m²±m)+1=1,9, (mod16)
(4m+2)^2=8(2m²+2m)+4=4.
よって, a, b がともに4の倍数でないとすると,
背理
(a²+62)÷16の余りは, 2, 5, 8, 10, 13
lc²16の余りは,
0, 1,4,9
(5m)2 =0,
(5m±1)' = 1, (mod5)
(有名問題 )
(5m±2)²=4.
よって, a,b,cがすべて5の倍数でないとすると,
(終)
なぜood 16
で分類しょうと
考える
光に平方数で割った余りを
であるから, a+b2=c2 となり矛盾.
ゆえに,a+b=²のとき, a,b のいずれかは4の倍数である.
(3) 任意の整数は 5m,5m±1.5m±2(m∈Z) のいずれかの形で表せ,
(終)
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