Question

ますっぺ

分かる方募集中です。
この問題の解説の言っている意味が分かりません。
教えてください‼️

295 f(x)は0でないxの整式で,次の等式を満たし
xf'(x)+(1-x)f'(x)+3f(x)
(1) f(x) の次数を求めよ。
ているものとする。
= 0, f(0)=1
(2) f(x)
を求めよ。

295 (1) f(x) 定数関数とすると, 第2式から
f(x) =1
これは第1式を満たさないから不適。
f(x) の次数をn(n≧1) として, f(x) の最高次の
項をax" (a≠0) とおく。
xf'(x) +(1-x)f'(x) +3f(x)のx" の項は
(-x) . anxn-1+3ax"= (-n+3)ax"
xf'(x)+(1-x)f'(x) +3f(x)=0はxについて
の恒等式であるから,x" の係数において
(-n+3)a=0
a≠0より
-n+3=0
よって, f(x) の次数は3
(2) (1) の結果とf(0) =1から,
よって
f(x)=ax+bx2+cx+1 (a≠0) とおける。
f'(x)=3ax2+2bx+c
f'(x)=6ax+26
これらを xf''(x) +(1-x)f'(x) +3f(x) = 0 に代
入して整理すると
(9a+b)x²+(4b+2c)x+c+3=0
これがxについての恒等式であるから
9a+b=0, 4b+2c=0, c+3=0
これを解いて
したがって
が成り立つ。
ゆえに
1
6
b
6
.3
n=3
3
2
c=-3
f(x) = -√²x²+²x²-3x+1
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

f(x)が何次式かすらわかっていないので、とりあえずf(x)の最高次数が何かを求めます。
そこでf(x)の最高次数だけの式＝axⁿ(a≠0)という式だけを作ります。
f'(x)＝anxⁿ⁻¹、f''(x)＝an(n-1)xⁿ⁻²　ですので、これを最初の式に代入すると

x・an(n-1)xⁿ⁻²+(1-x)・anxⁿ⁻¹+3axⁿ＝0　になり、展開などして整理すると
→　an(n-1)xⁿ⁻¹+anxⁿ⁻¹-anxⁿ+3axⁿ＝0
→　anxⁿ⁻¹+a(n-3)xⁿ＝0

この式が成り立つためには、恒等式から最高次数であるxⁿの係数が0である必要があります。
よって、a(n-3)＝0　でa≠0から、n＝3　となり、
f(X)の最高次数は3ｆであることが確定する、というわけです。

ここまでわかりますか？

ますっぺ

とても分かりやすかったです、ありがとうございました！