Question

ぷりん🍮

代数学
問3.2なのですがどうやって証明すればいいのか方針がよく分からないのです。
できれば全て知りたいですが何個かでもいいのでどんな感じにすればいいのか教えて頂きたいです。

定理 3.1 命題 p,g,r に対して, 以下が成り立つ。
(1) ベキ等法則)
(2) (交換法則)
(3) (結合法則)
(4) ( 吸収法則)
(5) (分配法則)
(8)
(9)
(10) (対偶)
PAP⇔P
p^q⇔q^p,
(6) (ドモルガンの法則) - (p^)V
(7) (二重否定の法則)
¯¯ ⇔p
P→qpVq
(1) p^(q^r) r^(g^p)
(3)-(pq)→
p^(g^r)⇔(p^q)>r,
p^(pVg)p,
p^(gVr) ⇒ (p^q)V(p^r),
pV(q^r) ⇒ (pVg) ^ (pVr)
pvp⇔p
pVqqVp
pV(qVr) ⇒ (pVg) Vr
PV(p^q)⇔P
(pg)⇔p^_g
P→qqp
(pVq) p^q
問 3.2 P,g,r を命題とするとき, 次は成り立つか証明とともに答えよ。 成り立つ場合
の証明については, 定理 3.1 を用いること。
(2) p (gr)⇔g→(p→r)
(4) pq^rr^q→→→p

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

(1)
p∧(q∧r)⇔p∧(r∧q) (∵(2))
⇔(p∧r)∧q (∵(3)
⇔(r∧p)∧q (∵(2))
⇔r∧(p∧q) (∵(3))
⇔r∧(q∧p) (∵(2))

(2)
p→(q→r) ⇔ p→(￢q∨r) (∵(8))
⇔￢p∨(￢q∨r) (∵(8))
⇔(￢p∨￢q)∨r (∵(3))
⇔(￢q∨￢p)∨r (∵(2))
⇔ ￢q∨(￢p∨r )(∵(3))
⇔￢q∨(p→r) (∵(8))
⇔q→(p→r) (∵(8))
という感じですね
(3)(4)も同じ感じで出来ると思います

ふぃる

(3)(4)はどちらも違いますね。
成り立たないことを示す時は反例を作りましょう
(3)
p:「2は奇数」
q:「3は偶数」
￢(p→q)⇔p∧￢qでこれは偽
p→￢q⇔￢p∨￢qでこれは真
真偽が一致しないから同値でない
(4)
p:「2は偶数」
q:「3は偶数」
r:「4は偶数」
p→(q∧r)⇔￢p∨(q∧r)でこれは偽
￢r∧￢q→￢p⇔￢(￢r∧￢q)∨￢p
⇔(r∨q)∨￢pでこれは真
よって真偽が一致しないから同値でない

ぷりん🍮

そうやって細かく考えていくのですね！
3と4が違うのはどうやってわかりますか？
どんなパターンもダメそうだなって試す感じですか？

ふぃる

同じように同値で変形して行った時に上手くいかなそうだなと思いました。実際(3)はp∧￢qとp∨￢qでこの2つは同値で結べそうにないですよね。

ぷりん🍮

なるほど！
そうやって考えるのですね！
追加質問にまで答えてくださりありがとうございました😭