f(x,y)、g(x,y)はxとyの式であると今は思ってくれていいと思います。
xy平面上で
f(x,y)=0 , g(x,y)=0 が表すグラフをそれぞれ
F,G
とすると、任意の定数s,tを用いてxとyの新しい式
h(x,y) = sf(x,y) + tg(x,y) を定義すると、
h(x,y)=0のグラフHはFとGの共有点を必ず通る。
なぜならば、FとGの共有点の一つをP(a,b)とおくと
点PはグラフF : f(x,y) ＝0上にあるのでf(a,b)=0
同時にグラフG : g(x,y)=0上にもあるのでg(a,b)=0
よってh(a,b)= s×0 + t×0 = 0
よって点P(a,b)はグラフH上にある。
FとGの他の共有点についても、同じことが言える。
なかなか難しいので、自信がないうちはこの回答は控えるのをお勧めしたい。
点(1,6)はグラフ2x-y+1=0上にあってもダメですね
失敬
さて、これを前提として(解II)を見てみましょう。
解IIの二行目、「交点を通る」、というところは正しいです。しかし、なぜそれで解けるのかという説明が不十分。
f(x,y)もg(x,y)もxとyの一次式なのだから、
sf(x,y)+tg(x,y)の形もまたxとyの一次式である、ということは納得していただければ、この問の場合はs=1, t=kとして
方程式がf(x,y) + kg(x,y) = 0 で表されるグラフは、グラフFとGの共有点を通る直線である
ということがわかると思います。この直線をmとおく。点(1,6)はグラフFとGの交点ではないため、点(1,6)をmが通る時kは一つに定ります。よって、この直線mこそが求める直前なのでした。