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基 本 例題 29 交点の位置ベクトル (1)
* 800000
する点をDとする。 線分 AD と線分BCの交点をPとし, 直線 OP と辺AB
△OAB において, 辺OAを1:2に内分する点を C, 辺OBを2:1に内分
の交点をQとする。 OA= a, OB=1 とするとき,次のベクトルをa,bを
用いて表せ。
(1) OP
(2) OQ
CHARTO SOLUTION
|p.337 基本事項 3, p.370 基本事項 1
交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較
(1) AP:PD=s: (1-s), BP: PC=t: (1-t) として,点Pを
線分 AD における内分点, 線分BCにおける内分点
解答
(1) AP:PD=s: (1-s), BP:PC=t: (1-t) とすると
OP=(1-s)OA+sOD=(1-s)a+1/23st
1
OP=(1-10B+10C=//ta+(1-1).... ②
の2通りにとらえ, OPを2通りに表す。
(2) 点Qは直線 OP 上にあるから, OQ=kOP(kは実数)と表される。 (1) と同
様に,点Qを 線分 AB における内分点,直線 OP 上の点の2通りにとらえ,
OQを2通りに表す。
①,②から (1—s)ã+sb=tã+(1—t)b
!à±0, 6±0, axb chp5_1-s=-
6
これを解くと s = 77, t=327 ゆえに OP= 1/27/12/26
一方
7' 7
OQ=k
......
=1-t¼
(2) AQ:QB=u: (1-u) とすると OQ=(1-u)a+ub
また,点Qは直線 OP 上にあるから, OQ=kOP (kは実数)
とすると,(1) より ON=(1/2+1/6=1/2+1/1
k á b ) ==—7 kā kb
*₂ (1-u)a+ub=-=— kā + 1/4 kb
よって
a=0.6=0. a であるから 1-u=k, u=-
k
4
これを解くと k = 1/23,u=1/13 ゆえに OQ=
U
5
A
2
基本 36,57
-u
B
-1-
注意 左の解答の赤破
の断りを必ず明記する。
inf. メネラウスの定
チェバの定理を用いた
は, p.380 の 補足 参照
また, ベクトル方程式
いる解法は次節で扱う
本例題 36 の inf. 参照
0Q=a+b
PRACTICE････ 29 ② △OAB において, 辺OA を 2:3 に内分する点をC. 辺OF
4:5に内分する点をD
