分からないので教えて下さい。
全て背理法で示していきます。
(1)
4√3を有理数と仮定し、互いに素である整数pqを用いて4√3=p/qとする。変形すると
√3=p/4q
これは√3が無理数であることに矛盾する。
(2)
√2+√6=√2(1+√3)=p/q
二乗して
2(4+2√3)=p^2/q^2
整理して
√3= p^2/4q^2-2
右辺は有理数だが、左辺は無理数なので矛盾。
(3)
√3+√5=p/q
√5=p/q-√3
二乗して
5=p^2/q^2-2√3p/q+3
整理して
2√3p/q=-2+p^2/q^2
√3=-q/p+p/2q=(p^2-2q^2)/2pq
右辺は有理数だが、√3が無理数であるため矛盾。
この手の問題は聞かれている式を有理数rとして考え矛盾を証明する背理法を用います。
(1)4√3を有理数と仮定すると有理数rを用いて
r=4√3
√3=r/4
と表せる。r/4は有理数でありこれは√3が無理数であることと矛盾する。よって4√3は無理数である。
(2)√2+√6を有理数と仮定すると有理数rを用いて
√2+√6=r
8+4√3=r^2
4√3=r^2-8
と表せる。r^2-8は有理数でありこれは(1)より4√3が無理数であることと矛盾する。よって与式は無理数である。
(3)も同じようにしてやってみましょう。わからないところがあれば教えてください。
ご丁寧にありがとうございます。
無事に解決出来ました。
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