＿一般的なお話しをします。以下の話しでの z は、設問での Z とは無関係で考えて下さい。z=a+bi の複素数と考えて下さい。
＿①、複素数zは、複素(数)平面原点Oからのベクトルである。
＿②、共役複素数 z^(ー)(一般的ではありませんが、私の端末では入力出来ないので、この回答では、zバーをこの様に表示します。)は、実(数)軸に題する線対称のベクトルである。
＿③、複素数 z に、虚数単位 i を掛けることは、偏角を90°進ませる事である。
＿④、複素数 z に、複素数 z を掛けることは、偏角を θ 進ませる事である。
＿⑤、複素数とは、交流とかの事である。
＿①〜⑤、は、理解していますか？
＿⑤、交流の話しは、後でします。
＿④は、ベクトルで理解している？それとも、円をn等分した図で考えている？
＿そうしたら、単位円上の偏角(π/3)の複素数を掛けているのだから、点P(n-1)から点P(n)へのベクトルの、大きさを2倍して、偏角を(π/3)した図形であると、分かるのではないの？
＿【⑤、複素(数)平面は、交流。その1.】
＿コイルに電流を流すと、電磁誘導で磁界が発生します。交流電流を流すと、電流の大きさが常に変化するので、常に電流を妨げる向きに磁界が発生します。この様に、交流電流でのみ発生する電流を妨げる力をリアクタンスと言います。
＿そして、コンデンサに交流電流を流した場合をかんがえると、交流電流回路から流れる時に、サインカーブの節で電流が0になった時に、直流回路でスイッチを切った時と同じ様になる訳ですから、コンデンサから電流が流れる様になります。そして、電流の値が増えて行く状態では、コンデンサに静電気を貯める状態に成ります。詰まり、周期がズレる事に成ります。波長がズレて、電流を弱めるので、これも、交流が流れる妨げと成ります。
＿交流回路では、抵抗(レジスタンス)とリアクタンスとを合わせたインピーダンスと言うものを考える必要があります。
＿無線LAN(例えば、Wifiとか。)でも、テレビの電波でも、このインピーダンスと言うものを合わせないと、電波・電流の波が互いを弱め合って、通信・受信出来ないのです。
＿尚、電磁気学では、通常、電流Iとの混同を避ける為に、虚数単位を表すのに、i のかわりに j を用います。(また、ベクトルを表すのに、微積分学での微分の上付き・の様に、付き・を用いて表します。)
＿【⑤、複素(数)平面は、交流。その３．】
＿交流、或いは、物質と波との二重性と言うものは、虚数の二乗で実数となり、その時だけ部分的に実数の世界(時間軸を考えて、擬似的な4次元世界)に出現する、と言った表現、或いは、理解に成ります。
＿因みに、現在、主流となっている改訂超ひも理論では、この世の中は、(時間軸を考えて)擬似的な11次元の様です。
ベクトル…なるほど、Zn+1－ZnでベクトルPn+1-Pnをあらわすのですか？
和、差、実数倍はベクトルのように計算出来ると知っていましたが回転も同様なのですかね？
今まで回転中心がαのように同じ点でしか複素数の回転の考え方を使ってこなかったのでベクトルの考え方は回転とは無関係かと思っていました…
仰るようにそのベクトルPn－Pn-1をπ/3回転させて2倍に伸ばしたベクトルがPn+1－Pnベクトルということなのでしょうか。
＿「今まで回転中心がαのように同じ点でしか複素数の回転」→基本的には、その通りです。そして、回転中心はαではなく、原則的には原点0なのです。ですから、ベクトルで考えて、漸化式の様な形式で記述された式を、ベクトルで考えて、原点0の中心に置き換えられるのではないか？と探るのです。ベクトルてすから、数学では、平行移動は同値です。(物理学では、作用点の様に、固定されて、平行移動出来ない場合と、浮力の様に、表面積の３次積分∫∫∫の様に、集合としての力の定積分の考え方で、大きさと作用点とを切り分けて、平行移動出来る場合と、が有ります。)
＿「仰る様に〜〜でしょうか。」→ベクトルで考えて、原点0の回転に置き換えられる事がわかったからこそ、その様に考えて支障がない、と分かるのです。
＿⑥、複素(数)平面とは、交流とかの話しである。と、言う事は、分かりましたか？
＿⑦、そして、z を n[回]掛ける、偏角θをn[回]進ませる、偏角θをnθ進ませる、と言うことがド・モアブルの定理の本質なのです。
＿ド・モアブルの定理を正n角形で説明しているものが多いですが、別に、360°を整数 n で割り切れる必要はありません。分かりますか？
なるほど、回転は原点中心なのですね。
だからベクトルで考えて原点中心となるように並行移動し、回転させる。
こういうことですよね。
交流の話とドモアブルの話も理解出来ました。
ありがとうございます！
【設問】
＿⑧、w，z を、複素(数)平面上の複素数とする。w を、w=i(z-2) で定義する。z が原点0の周りの半径1の円周上を動く時、w は、どの様な図形を描くか？
＿これを、ベクトルで考えて、30[秒]以内に回答出来ますか？
出来ないです…考え方を教えて下さい。
【依頼】
＿今回の質問と同じ内容を、今回の質問から４時間位前にしていますよね？
＿単純な興味として尋ねるのですが、この４時間位前の質問って、質問者本人は削除する事が出来るのですか？
＿特に差し支えなければ、４時間位前の質問を、ちょっと削除してもらっても良いですか。
はい、消しておきます
＿⑧、残念……。ベクトルの考え方を練習して下さい。
＿w=i(z-2)=i✕z-2i です。zは、原点周りの単位円で、虚数単位 i を掛けていますので、偏角を90°進ませる事を意味しています。ですから、i✕zも単位円の儘(まま)です。それに、-2iを加えていますから、虚(数)軸の負の方向に、2iだけ、平行移動した、と言う事です。
＿ですから、wは、(0，-2i)を中心とする半径1の円周、と言う事になります。
＿この設問に対する解法で、複数の問題集で、絶対値をとって、2乗したりして、図形の関係式で解いています。そんなのは、無駄な手間、と分かりますよね？
＿⑧、分かりましたか？
二乗はしませんでしたが、ベクトルの平行移動を理解していれば早いですね。
ありがとうございます。
＿これを、交流の話しで喩えると、⑤では、虚(数)軸を電流で考えましたが、電圧で考えます。
＿同じ電源回路を使用した回路があって、zの回路を時間軸の基準に採ると、w の回路のサインカーブは、90°(=π/2)だけ、位相が先行しています。そして、z の回路の電圧に比べて、電圧のGND(接地)基準を2[V]だけ下げた電圧(≒バイアス電圧を-2[V]分、印加した電圧)を基準電圧としてwの回路を動かしている。と、言う回路を表現している事になるのです。
【ご参考】
＿私が、こんな感じ、と、図示した時、zを黒板太字で手書きしましたよね？
＿ベクトルの考え方が定着するまでの間は、スカラーである純実数・純虚数と、ベクトルてある複素数と、を意識して区別する為に、複素数を太字とか、黒板太字とか、で記載して下さい。そして、複素数は、それをベクトルとして、或いは、関係式を満たす図形として、考える事を習慣付けるのです。
＿その様にすると、効率良くベクトルの考え方が身に付くのではないか、と推測します。
ありがとうございます
＿①〜⑤、が、分かっていれば、ベクトルを考えれば、質問者 さんの質問に対する回答が分かると思います。逆に、①〜⑤、のどれか、が分かっていないのかな？と、推測します。