Question

イズ

解答では「虚数解2個」と書かれていますが「異なる２つの虚数解」でも大丈夫ですか？

礎問
17 解の判別 (I)
次のxについての方程式の解を判別せよ.ただし, kは実数と
する.
@(¹) x² = 4x+k=0
精講
「解を判別せよ」とは, 「解の種類 (実数解か虚数解か) と解の個数
について考えて, 分類して答えよ｣ という意味です.ということは
(1) (2) 2次方程式だから, 判別式を使えばよい!!」 と思いたくな
るのですが、はたして･･････.
解 答
(1) ㎡-4x+k=0 の判別式をDとすると, 1/144-kだから,
この方程式の解は次のように分類できる.
(i) 4-k<0 すなわち, k>4のとき
D<0 だから, 虚数解を2個もつ
(ii) 4-k=0 すなわち, k = 4 のとき
D = 0 だから, 重解をもつ
(2) kx2-4x+k=0
( 4-k>0 すなわち, k<4のとき
D>0 だから, 異なる2つの実数解をもつ
(i) ~ (Ⅲ)より,
[k> 4 のとき, 虚数解2個
k=4 のとき, 重解
ん<4 のとき、 異なる2つの実数解
(2) (=0のとき
与えられた方程式は4x=0
:: x=0
(イ)=0のとき
kx2-4x+k=0 の判別式をDとすると
=4-k²2 だから,この方程式の解は
D
<D < 0
1211-18
(D=0
<D>O
k=0のときは2次
方程式にならないの
で, 判別式は使えな
い

No.
次のように分類できる.
(i) 4-k20 すなわち, k<-2, 2<kのとき
D<0 だから,虚数解を2個もつ
(ii) 4-k20 すなわち, k = ±2 のとき
D=0 だから重解をもつ
( 4-k²0 すなわち, -2 <k<2のとき
D>0 だから、 異なる2つの実数解をもつ
(ア), (イ)より,
jk=0 のとき, 実数解1個
|k<-2,2<kのとき, 虚数解2個
考
33
|k=±2 のとき, 重解
2<x<0,0<<2のとき,異なる2つの実数解
注 (2)のk=0 の場合と k = ±2 の場合は,いずれも実数解を1個もっ
ているという意味では同じように思うかもしれませんが, 2次方程式
の重解は活字を見てもわかるように元来2個あるものが重なった状態
を指し,1次方程式の解は,元来1個しかないのです。だから,答案に
は区別して書かないといけません。仮に、 「kx²-4x+k=0 が異なる
解をもつ」となっていたら「ん≠ 0 かつD=0」となります.
問題文の1行目をよく読んでください.
「次の』についての方程式………」とあります。 ｢次のxにつ
いての2次方程式………」とは書いてありませんよって, (2)
の方程式は h=0 となる可能性が残されているのです. だから,「次
のについての2次方程式･･････」 となっていたら,すでに「k≠0」が
前提になっていることになり, 解答の(ア)は不要となります。
●ポイント判別式は2次方程式でなければ使えないので, x2の係
数が文字のときは要注意
第2章

解の判別

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

それでも大丈夫ですが、同じ虚数解を解にもつことはありえないですよ

イズ

ありがとうございます！