Question

りょう

複素数です。
この問題の解説の最後のほうの［２］の
『z, z^-は二次方程式x²+x+1=0の解である』
の考え方が分かりません。

どなたか教えてくださいお願いします🙏🙏

絶対値が1で,
z+1
2²
が実数であるような複素数zを求めよ。

2+1 が実数であるための条件は
2²
z+1 z+1
すなわち
2
(z)²
両辺に(z) を掛けて
よって
|z|=1 より zz=1であるから
z−2+2²-(z)²=0
ゆえに
よって
(z−z)(1+z+z)=0
ゆえに zz = 0 または 1+z+z=0
[1] zz=0のとき
******
A
z+1
-
2+1
2² (2+1)=(z)²(z+1)
2.22 +2²=2.2z+(z)²
z+2²=2+(z)²
2=2
よって, z は実数であるから |z|=1 より
[2] 1+z+z=0のとき
z+z=-1
また, zz=1であるから, z, zは2次方程式x2+x+1=0 の
解である。
この方程式を解くとx=
-1±√1²-4・1
2･1
|z =±1
-1 ±√3 i
2

複素数 複素数の実数条件

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ほり

解と係数との関係を使っています。

りょう

ご回答ありがとうございます🙇‍♀️
最後の計算の方法が分からないの
ではなく、1+z+z^-からどうして
二次方程式を使うという考え方が
出てくるのかが分からないという
質問です。分かりにくくてすみません。

ほり

1+z+z^-だけでは答えを出すことができない！と思ったら別の使っていない情報に目を移すということです。複素数の問題で、「絶対値が○○」という言葉が出てきたら積極的に使うことが多いです。それを意識すれば、z+z^-=-1の形を見た時にビビットくるでしょう。あとは演習の数ですね。