Question

るか

このふたつの問題説明付きで教えて欲しいです

2023A (1, 1, 4), B(2, 1,5), C(3,-1, 8) がある。 このとき,
D
△ABCの面積=
∠BAC=
である。
〔関西大〕
203 2 つのベクトルa=(-1, 1,0), (126) の両方に垂直で大きさが6であるべ
クトルを求めよ。
〔摂南大〕

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

202
AB²＝(2－1)²＋(1－1)²＋(5－4)²＝2
AB＝√2
AC²＝(3－1)²＋(－1－1)²＋(8－4)²＝24
AC＝2√6
BC²＝(3－2)²＋(－1－1)²＋(8－5)²＝14
BC＝√14
余弦定理より、cos∠BAC＝(AB²＋AC²－BC²)／(2・AB・AC)＝12／8√3＝√3／2
よって、∠BAC＝30°　(ｱ)
△ABC＝(1／2)・sin∠BAC・AB・AC＝(1／2)・(1／2)・√2・2√6＝√3　(ｲ)
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203
求めるベクトルを　c(x, y, z)　とすると、
・a⊥c　⇒　a・c＝0　⇒　－x＋y＝0　⇒　y＝x
・b⊥c　⇒　b・c＝0　⇒　x＋2y＋6z＝0　⇒　3x＋6z＝0　⇒　z＝－x／2
・|c|＝6　⇒　x²＋y²＋z²＝36　⇒　x²＋x²＋x²／4＝9x²／4＝36　⇒　x²＝16　⇒　x＝±4
よって、(x, y, z)＝(4, 4, －2), (－4, －4, 2)

るか

202番空間ベクトル使う方法で解けますかね、？

高橋

ベクトルを使うなら、
cos∠BAC＝(→AB)・(→AC)／(｜AB｜｜AC｜)
(→AB)＝(1, 0, 1), (→AC)＝(2, -2, 4)
(→AB)・(→AC)＝(1×2)＋(0×(－2))＋(1×4)＝6
｜AB｜＝√(1²＋0²＋1²)＝√2
｜AC｜＝√(2²＋(－2)²＋4²)＝2√6
よって、cos∠BAC＝6／(√2・2√6)＝6／4√3＝√3／2

Answer 2

かきつばた

ん