Question

なたろー

この問題のように概形を書く際に微分したものの極限(無限)を求める場合はどんな時かある程度決まっているものなのでしょうか？もしそうなら教えて頂きたいです！

523 次の関数のグラフの概形をかけ
*(1)__y=(x-2)√√x+1
$28
2_1
(2)y=x/i

7
1
1
√2
Ve
ラフはy軸に関
0+1
0
のようになる。
原点に
1
変曲点
一向に -1,
して
と
+
6
f(1) = 19,f'(1)=0
a+b+c+d+e=19 .... ③
6a+3b+c=0
(1,19) における接線が直線y=xに平行であ
f'(1) = 1
4a+35+2c+d=1...... ⑤
よって
るから
よって
①~⑤を解いて
a=1, b=0, c=-6, d=9, e=15
このとき,f'(x)=12(x+1)(x-1)であり,
x=-1, 1の前後でf'(x) の符号が変わるから、
確かに2点(-1, 1), (1, 19) は変曲点となる。
f(x)=x^-6x2+9x+15
したがって。
522y'=2axe-2*(ax2+1)・(−2)e-2x
=-2(ax²-ax+1)e-2x
y'=-2{(2ax-a)e-2x+(ax-ax+1)(−2)e^2x)
=2(2ax²-4ax+a+2)e-2x
[1] = 0 のとき
よって、変曲点をもたない。
[2] a≠0 のときげ
y'=0とすると, e-20 から
2ax²-4ax+a+2=0 ...... ①
2次方程式 ① が異なる2つの実数解をもつと
き,その解の前後でy” の符号が変わり, 変曲
点をもつ。
よって, ① の判別式をDとすると
=(-2a)²-2a(a+2) >0
ゆえに
a²-2a>0
これを解いて a<0, 2<a
4
y"=4e-²x>0
(これは α≠0 を満たす )
[1], [2] から 求めるαの値の範囲は
a<0, 2<a
523 (1) この関数の定義域はx≧-1
x>1のとき
y'=1.√x+1+(x-2)･・
1.√x+1-x
x+1
x>1でy'=0とすると
1
3x
2√x+1 2√x+1
1
2√x+1
3(x+2)
4(x+1)√x+Imill my mil
x = 0
yの増減とグラフの凹凸は、次の表のようになる。 |
また
=
y
041-
リーナー1+0
-1
lim y=∞,
lim y'==∞o
1<x<1のとき
y = 1. √1-x² + x..
1-2x²
√1-x²
0
y'
したがって, グラフの概形は[図] のようになる。
この関数の定義城は、1-x2≧0を解いて
-1≤x≤1
+y
+
-1
0
0
0
4x√1-x-(1-2x²) ..
0 1-x²
x(2x²-3)
(1-x²)√1-x²
1<x<1で,y'=0 とすると x=±-
+
1
+
-2
0
y'=0とするとx=010
yの増減とグラフの凹凸は、次の表のようになる。
1
AND 2
-2x
2√1-x2
+
+
1
√2
0
+
--1/7
1
20
-2x
2√1-x²J
+
+
0
+c
0
1
10
|+|
(1)
関数yは奇関数であるから, グラフは原点に関
して対称である。
また
limy'=-∞, limy'=-∞
y
x-1+0
x-1-0
したがって,グラフの概形は[図] のようになる。
O
y" =
/2
2
y' = 2 + √√x²-1
X
(3) この関数の定義域は,x-1≧0を解いて
x
=
y'
y"
y
また
解答編
(2)
x-1, 1x
x<-1, 1<xのとき mill
1<xのときy'>0
x<1のとき、y'=0 とすると
+
第2-1
1
(x²-1)√√x²-1
0
2√x²-1+x
VX2-1 √√x²-1 (
1.√x2-1-x.
2√3
3
2√x2-1=-x
両辺は正であるから, 2乗しても同値で
4x2-1)=x2
y1
て -√3
1
√√√x²-1
x<-1であるから
x=-3
の増減とグラフの凹凸は、次の表のようになる
10
-
Y
lim_lim2+
x-+00 X
y=lim
lim
100 X 100
-<0
11x
√2
=lim
BILLED
よってx=13
2√3
-213
-2
-1... 1
1
2
=3,
lim (y-3x)=lim (-x+√ x²-1)
X-00
+
-2t+√²-1
7
x-00-x-√√√x²-1
よって、 直線y=3xは漸近線である。
x=-t とおくと,x →∞ のとき→∞
あるから
B
=C
-t-

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