Question

かなめ

名古屋市立大学薬学部
数列の極限の問題です。
(3)について、P2(n-1)をP1(n-1)に直さずに計算することはできますか？
できたらその計算方法を教えていただきたいです。

18 2014 年度 数字
3. 四角形 ABCD の異なる2つの頂点に玉が1個ずつ置かれている。 以下の手順で玉を動か
す操作を1回の操作とし, それを繰り返す。 ただし、 四角形の頂点は反時計回りにABCD
の順番で並んでいるとする。
1. 置かれている2個の玉から無作為に1個の玉を選択する。
2. 選択した玉の置かれた頂点に隣接する2つの頂点のうち,反時計回りの方向にある頂
点が他方の玉に占有されていない場合には確率pでその頂点に玉を進め、その頂点が
既に他方の玉に占有されている場合には玉は動かさない。
この操作により得られる玉の配置について、以下の問いに答えよ。
(1)
(1) 次の確率を求めよ。
(a) 頂点AとCに玉が置かれているとき, 1回の操作の後に2個の玉が隣り合う確率
(b) 頂点AとCに玉が置かれているとき、 1回の操作の後に玉の配置が変わらない
確率
(c) 頂点AとBに玉が置かれているとき 1回の操作の後に2個の玉が隣り合わない
確率
(d) 頂点AとBに玉が置かれているとき、1回の操作の後に玉の配置が変わらない
確率
(2) 最初に頂点AとCに玉が置かれているとき､n回(≧1) の操作の後に2個の玉が
隣り合わない確率をP(n), 隣り合う確率をP2 (n) とする。 Pi (n) および P2(n) を
P1(n-1) と P2(n-1) で表せ。
(3) 極限値 lim Pi(n) および lim P2 (n) を求めよ。
818
818

2014年度 数学<解答> 49
(2) (1)の結果から、隣り合わない2個の玉が、次の操作で隣り合う確率,隣
り合わない確率は, それぞれ1-pであり、隣り合う2個の玉が,次の
操作で隣り合う確率, 隣り合わない確率は, それぞれ1-
2012/3である。
よって, n ≧1 において
P₁(n)=(1-p) P.(n-1)+2 pP₂(n-1)
P2(n)=pPi(n-1)+(1-121) P2(n-1)
ただし, Pi(0)=1, P2(0)=0である。
(3) Pi(n)+P(n)=1 (n=1,2,….. である。これと(2)の結果から
P(n)=(1-1) Pi (n-1)+1/20(1-P,(n-1))
=(1-1/21) P(n-1)+1/21
したがって
P.(n) - - =(1-2 p){P.(n-1)-}}
‥.
数列
列{P(n) - 1/3} は初項(P,(0)-1/31-1/23 公比1-1/2の等比数列だか
— P₁(0)— 3'
ら
Pi (n)-
って
-
lim
n10
1
3 3
2
n
P₁(n) = 1 + ² (1-2 p)"
3
ここで.ps1より1/12/12/31であるから
1
1-
3
p=1 すなわち p=0のとき
(1-20)-( 1 (1-20-176020-0028)
=
10
n→∞
(
3
≤1 21する
lim{P.(n)-1)=lim (1-2) =
3
すなわち0<p1のとき
2 (p=0)
3
(0
(0<p≤1)

数3 数列 極限