Question

まんじゅう

(１)の2枚目の写真の別解がわかりません。
解説も読んだのですがわかりません。
なぜP（x）をxー1で割ったときの余りは、ax＋bをxー1で割ったときの余りに等しいんですか？

基本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1)
(1)
!
00000
整式 P(x) を x-1で割ると余りは5,x-2で割ると余りは7となる。 この
とき,P(x) をx2-3x+2で割った余りを求めよ。 [近畿大 ]
(2) 整式P(x) を x²-1で割ると4x-3余り, x2-4で割ると 3x +5余る。 この
とき,P(x) を x2 +3x+2で割った余りを求めよ。
指針▷ P(x) が具体的に与えられていないから、実際に割り算して余りを求めるわけにはいかな
い。このような場合、割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
!
特に,余り R の次数が割る式B の次数より低いことが重要なポイント!
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから,R=ax+b とおける。
条件から、このa,bの値を決定しようと考える。 それには、割り算の等式 A=BQ+R
で, B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて,P(●) の値を利用する。
ADRAT SAH
}
【CHART 割り算の問題
解答
(1) P(x) を x2 - 3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割ったとき
の商をQ(x), 余りをax+bとすると, 次の等式が成り立つ。
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+6
ゆえに
ゆえに
a=2.6=3
条件から
P(1)=5
P(2)=7
①,②を連立して解くと
よって, 求める余りは 2x+3
(a) DI
77929
基本 52
基本等式 A=BQ+R
①1 R の次数に注意 2 B=0 を考える
5 of Cla
a+b=5
①
2a+b=7... ②
.......
[類 慶応大]
重要 55
2次式で割った余りは,
1次式または定数。
DE
<B=(x-1)(x-2)
JA
(9)
剰余の定理。 またアの
両辺にx=1 を代入する
と
P(1)=a+b

て,簡単な α,bの連立方程式を導き出すことができ
るからである。
余りの式のおき方の工夫 表現力 ?
(1) に関して,次のような別解 も考えられる。
ゆえアを導くまでは同じ。 アの式より, P(x) を x-1
で割ったときの余りは, ax+bをx-1で割ったと
きの余りに等しいから ax+b=a(x-1)+5 と表
される。 ゆえにアは
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+α(x-1)+5
よって
P(2)=a(2-1)+5=α+5
条件より,P(2)=7 であるから a+5=7
これを解いて
a=2
ゆえに, 求める余りは
A(●)=0･Q(●) +R(●)
(ax+bをx-1で割ったときの
余りをrとすると,商はαであ
るから ax+b=a(x-1)+r
よって,アから
P(x)=(x-1){(x-2)Q(x)+α}
+r
これからがわかる。
αの値が決定。
→余りも決定。
2(x-1)+5=2x+3
この解答では, 余りの式 ax+bをα (x-1)+5 に変えることで, 未定係数を2つ (α, b)
から1つ (α) に減らす工夫をしている (一般に, 求める未定係数が少なければ必要となる
方程式の数も少なくてすむ)。 このような余りの式の中の文字を減らす工夫は,例えば
次ページの例題 54 など, 後々役立つ場合もあるので知っておきたい。

数学ii 剰余の定理 青チャート

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鈴木鈴

余りを考えるとき、明らかに割り切れる部分は除いて考えてよい　ということになります

よろしければ参考にしてください

まんじゅう

考えてみれば当たり前のことでした！
ご丁寧にありがとうございました！