n秒後にPがOにある確率をo(n)
n秒後にPがAにある確率をa(n)
n秒後にPがBにある確率をb(n)
とすると、o(1)=0、a(1)=1/2、b(1)=1/2
ア:1、イ:2
---------------------------------------------------------
また、o(n)+a(n)+b(n)=1
さらに、「O→Aの確率」=「O→Bの確率」、「A→Oの確率」=「B→Oの確率」、「A→Bの確率」=「B→Aの確率」よりAとBは対称(AとBを入れ替えてもPの動きに影響はない)なので、a(n)=b(n)
以上より、o(n)=1-a(n)-b(n)=1-2a(n)
ウ:1、エ:2
---------------------------------------------------------
a(n+1)=o(n)×「O→Aの確率」+b(n)×「B→Aの確率」={1-2a(n)}×(1/2)+a(n)×(1/3)=(-2/3)a(n)+(1/2)
オカ:-2、キ:3、ク:1、ケ:2
---------------------------------------------------------
上の漸化式は「a(n+1)+t=(-2/3){a(n)+t}」という形にできる。
これを変形すると、a(n+1)=(-2/3)a(n)-(5/3)t ⇒ -(5/3)t=1/2 ⇒ t=-3/10
ここで「a(n)-3/10」をc(n)とおくと、c(1)=a(1)-3/10=1/5
c(n)は初項1/5、公比-2/3の等比数列なので、c(n)=(1/5)(-2/3)^(n-1)
よって、a(n)=(1/5)(-2/3)^(n-1)+3/10
コ:1、サ:5、シ:3、スセ:10
数学
大学生・専門学校生・社会人
確率漸化式の入試問題です。まだ解答出ていないので分かる方教えてください
3 次の各問に答えよ。
(1) 三角形OAB の頂点を1秒ごとに次の規則で移動する点Pがある。 Pは,
O から A, B へそれぞれ確率 1/2 で移動し, A から 0, B へそれぞれ確率
2 1
で移動し, B から 0, A へそれぞれ確率
2 1
33
にPは0にあるとし, n秒後 (n = 1,2,3,...) にPがAにある確率を
3
3
ア
an とする。 a1 =
用いて表すと
an+1
オカ
キ
が成り立つ。
12
an+
an=
-
コ
サ
である。 n 秒後にPが0にある確率を an を
ク
I
ケ
an であり, an+1 を an を用いて表すと
である。
オカ
キ
n-1
で移動する。 初め
+
スセ
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