Question

しゅ

確率漸化式の入試問題です。まだ解答出ていないので分かる方教えてください

3 次の各問に答えよ。
(1) 三角形OAB の頂点を1秒ごとに次の規則で移動する点Pがある。 Pは,
O から A, B へそれぞれ確率 1/2 で移動し, A から 0, B へそれぞれ確率
2 1
で移動し, B から 0, A へそれぞれ確率
2 1
33
にPは0にあるとし, n秒後 (n = 1,2,3,...) にPがAにある確率を
3
3
ア
an とする。 a1 =
用いて表すと
an+1
オカ
キ
が成り立つ。
12
an+
an=
-
コ
サ
である。 n 秒後にPが0にある確率を an を
ク
I
ケ
an であり, an+1 を an を用いて表すと
である。
オカ
キ
n-1
で移動する。 初め
+
スセ

確率漸化式 数学 数学2b

Answer 1

高橋

n秒後にPがOにある確率をo(n)
n秒後にPがAにある確率をa(n)
n秒後にPがBにある確率をb(n)
とすると、o(1)＝0、a(1)＝1/2、b(1)＝1/2
ア：1、イ：2
---------------------------------------------------------
また、o(n)+a(n)+b(n)＝1
さらに、「O→Aの確率」＝「O→Bの確率」、「A→Oの確率」＝「B→Oの確率」、「A→Bの確率」＝「B→Aの確率」よりAとBは対称（AとBを入れ替えてもPの動きに影響はない）なので、a(n)＝b(n)
以上より、o(n)＝1-a(n)-b(n)＝1-2a(n)
ウ：1、エ：2
---------------------------------------------------------
a(n+1)＝o(n)×「O→Aの確率」+b(n)×「B→Aの確率」＝{1-2a(n)}×(1/2)+a(n)×(1/3)＝(-2/3)a(n)+(1/2)
オカ：-2、キ：3、ク：1、ケ：2
---------------------------------------------------------
上の漸化式は「a(n+1)+t＝(-2/3){a(n)+t}」という形にできる。
これを変形すると、a(n+1)＝(-2/3)a(n)-(5/3)t　⇒　-(5/3)t＝1/2　⇒　t＝-3/10
ここで「a(n)-3/10」をc(n)とおくと、c(1)＝a(1)-3/10＝1/5
c(n)は初項1/5、公比-2/3の等比数列なので、c(n)＝(1/5)(-2/3)^(n-1)
よって、a(n)＝(1/5)(-2/3)^(n-1)+3/10
コ：1、サ：5、シ：3、スセ：10