Question

さーたん

（2）のocを求める問題で、なぜtanを使うのですか？

【選択問題】 次の456のうちから2を選んで解答せよ。
14 四面体OABC がある。OA=1,OB=3, cos∠AOB=-1/3、
であり、∠AOC=∠BOC=90° である。
(1) 辺ABの長さを求めよ。
(2) △OAB の面積を求めよ。 また, ∠OAC=∠OCB であ
るとき、辺OCの長さを求めよ。
(g) (2)のとき、辺AB上を点Pが動くものとする。 tan∠OCP の最小値を求めよ。(配点20)
3
B

B
17
B
解答
(1)
(2)
△OAB において, 余弦定理により
AB°=1°+3°-2・1・3・(-1/3)=12
AB > 0 より AB = 2√3
完答への
道のり
sin∠AOB=1-cos" ∠AOB
よって
0°<∠AOB <180° より sin ∠AOB > 0 であるから
√8-2√2
=
V9
3
A 余弦定理を用いて辺ABの長さを求める式をつくることができた。
B答えを求めることができた。
=1-(-/-)²
8
9
sin∠AOB=
tan 0 =
△OAB=1212.1.3.2.2
= √2
次に,∠OAC=∠OCB =0 とすると, 直角三角形OAC において
OC
tan0 = = OC........... ①
OA
直角三角形OBC において
OB
3
OC OC
=
① ② より OC =
2√3
OC
A
余弦定理
△ABCにおいて
a²=b²+c²-2bc cos A
B
a
◆三角比の相互関係
sin ²0+cos²0=1
C
三角形の面積
△ABCの面積をSとすると
S=besin A
B
S

CO
OC2=3
OC > 0 より OC=√3
(3)
[線分 OC の長さを求める別解〕
条件より △OAC
完答への
道のり
OA: OC=OC: OB
1:OC = OC:3
OC2=3
OC > 0 より OC=√3
OCB であるから
△OPC において
tan ∠OCP =
OP OP
OC √3
であるから, tan ∠OCP が最小とな
るのは,線分 OP の長さが最小とな
るときである。
線分 OP の長さが最小となるのは,
右下の図のように OP ⊥AB となる
ときである。
このとき, △OAB の面積を考える A
と
1/2√3 OP = √2
√√6
3
完答への
道のり
Y OP=
よって, tan ∠OCP の最小値は
√6
tan ∠OCP = ÷ √3
3
A 三角比の相互関係より, sin∠AOB の値を求めることができた。
B △OAB の面積を求めることができた。
© 直角三角形OAC に着目して, tan ∠OAC を OC を用いて表すことができた。
① 直角三角形OBC に着目して, tan ∠ OCB を OC を用いて表すことができた。
E 辺OCの長さを求めることができた。
√2
3
√√3
A
AOAB √2, OC = √3
1
P
2√3
B
B
鋭角の三角比
12
3
B
tan 0 =
CA
BC
△OCP は ∠COP=90°の直角
三角形である。
cos∠AOB <0 より, ∠AOB は
鈍角であるから, ∠OAB, ∠OBA
は鋭角である。よって, OP ⊥AB
となる点Pは確かに辺AB上にあ
る。
A tan ∠OCP が最小となるのは,線分 OP の長さが最小のときであることに気づくことができた。
B 線分 OP の長さが最小となるのは, OP AB となるときであることに気づくことができた。
△OAB の面積に着目して, OP AB となるときの線分 OP の長さを求めることができた。
① 答えを求めることができた。

数学i 図形と計量