Question

endeavor

（2）についての質問です。
回答写真二枚目の右側に別解として、
F（x）の最小値＜0として解く代わりにD＞0をとして進めると記述してありますが、問題文である実数に対してf（x）＞g（x）が成り立つのある実数とは条件を満たすXがひとつでも存在するという定義らしいのですが、f（x）＞g（x）に＝は何故ダメなのでしょうか？
お願いします。

なわち
て
y = 0
ある実数x に対してF(x) < 0, すなわち [F(x) の最小値] <0
が成り立つことと同じである。
よって
ゆえに
よって
a²
- +50<0
(a+10)(a-10)>0
2
a<-10, 10<a
練習
③ 129 立つような定数kの値の範囲を求めよ。
2つの2次関数f(x)=x2+2kx+2, g(x)=3x2+4x+3がある。 次の条件が成り
y=F(x)のグラフの頂点
がx軸より下にある。)
によって解くこともできる。
(1) すべての実数xに対して f(x)<g(x) が成り立つ。
(2) ある実数xに対してf(x)> g(x)が成り立つ。
[ (1) 奈良大]
00%).

ゆえに
x=-1
したがって, 共有点の座標は
①から
y=4
(-1, 4)
練習 2つの2次関数f(x)=x2+2kx+2,g(x)=3x²+4x+3がある。 次の条件が成り立つような定数
④ 129k の値の範囲を求めよ。
(1) すべての実数xに対して f(x)<g(x)が成り立つ。
(2) ある実数x に対してf(x)>g(x)が成り立つ。
F(x)=g(x)-f(x) とすると
F(x) = (3x2+4x+3)-(x2+2kx+2)=2x²-2(k-2)x+1
=2(x− k−2)²_ k² − 4k+2
2
[(1) 奈良大〕
←F(x)=g(x)f(x) と
するのは, F(x) の2次
の係数を正にするため。

102- 数学Ⅰ
(1) すべての実数x に対してf(x)<g(x)が成り立つことは,
すべての実数x に対してF(x) > 0, すなわち
[F(x) の最小値] > 0 が成り立つことと同じである。
k-2
2
F(x) l£ x=· のとき最小値- 2
k²-4k+2
2
->0
k²-4k+2
ゆえに k²-4k+2<0
k²-4k+2=0を解くと
をとるから
k=-(-2)±√(-2)^-1・2=2±√2
別解 2次方程式
F(x)=0の判別式をD
とすると
D={-(k-2)}^-2-1
4
=k²-4k+2
(1) [F(x) の最小値] >0
の代わりに, D<0 とし
て進める｡
(2) [F(x) の最小値] < 0
の代わりに,D>0とし
て進める
よって, 求めるんの値の範囲は
2-√2<k<2+√2
(2) ある実数x に対してf(x)> g(x) が成り立つことは,
ある実数 x に対して F(x)<0, すなわち [F(x) の最小値]<0
が成り立つことと同じである。
k²-4k+2
よって
-<0
2
ゆえに
k²-4k+2>0
よって, 求めるんの値の範囲は k<2-√2,2+√2<k
練習 f(x)=x2+2x+α²+144-3, g(x)=x+12x がある。 次の条件が成り立つような定数aの値の
④ 130 範囲を求めよ。
←k²-4k+2=0の解は
(1) で求めた。
(1) -2≦x≦2 を満たすすべての実数xi, x2 に対して, f(x) ≧ g(x2) が成り立つ。
(-2≦x≦2を満たすある実数 Xi, x2 に対して、f(x) ≧ g(x) が成り立つ。
f(x)=(x+1)²+a²+14a-4, g(x)=(x+6)²-36
←基本形に
EX
② 51
THI
点
(前半
2
(後)
F

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

こんにちは！

申し訳ありません。私の現代文力が無く、何をご質問されているのかが分からなかったです💦

＝がなぜ駄目かというのは、
・f(x)≧g(x)とならないのは何故か
・［F(x)の最小値］≦0とならないのは何故か
・D≧0とならないのは何故か
のどれでしょうか、？

endeavor

あー！すみません💦
主語抜けてますね
D≧0はなぜダメなのか。
です！

数学にわか

了解しました！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
文字での説明が中心となっているので、分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

D＝0となるときはグラフがx軸と1点で接している状態です。接しているわけなので、x軸よりも下(<0)の範囲に入ることはありません！

endeavor

あー確かに＝は交わってることにはならないですね笑
ちなみにF（x）の最小値とは何を示してるんでしょうか？
すみません。

数学にわか

先ほど添付した画像の図を見てもわかると思いますが、下に凸の二次関数で最も値が小さい(最小値)部分は頂点です！
ちなみに上に凸の二次関数での頂点は最も値が大きい最大値となります！こちらも図を書けばわかると思います。

endeavor

あーえっと
f（x）g（x）などの図的の最大値最小値ではなく、
f（x）－g（x）＝F（x）
のF（x）の最大値最小値のことです

数学にわか

今回の問は、f(x)>g(x)となる場合を考えています。
式変形すれば0>g(x)-f(x)となればいいわけです。
これを0>F(x)と考えています。

「ある実数に対して」0>F(x)ということは、0>F(x)となるxを1個でも見つければ良いわけです。この場合は最も都合の良い状態を想定すれば良いので、F(x)で1番小さい値、つまり最小値が0より小さければOKということになります！

最小値のxで0>F(x)が成り立てば、ある実数(最小値のx)に対して0>F(x)→f(x)>g(x)が成り立つことがわかります。
逆に、最小値のxでさえ0≦F(x)となってしまったら、すべての実数で0>F(x)が成り立たない→f(x)>g(x)が成り立たない、ということになります。

回答になってますかね、、？

endeavor

あ！！F（x）はf(x)>g(x)から変化した
0>g(x)-f(x)を示すために生まれた仮の方程式なんですね！
変に解釈してた部分なのでたすかります！
適切な回答ありがとうございます！！
助かりました！

数学にわか

こちらこそありがとうございます！
お力になれて良かったです✨