Question

いとう

2つの条件の使い方がわからないのでご教授ください…

問2. m を正の実数とし、 A = (qi) は実正方行列であり以下の2条件を満たしているとする :
(a) i,j € {1,...,n}, aj ≥ 0,
(b) *i € {1,...,n}, Σaij
aij = m.
j=1
このとき、以下を示せ。
(i) Aはmを固有値にもつこと。
(ii) Aの任意の固有値入に対して|入≤m が成り立つこと。

線形代数

Answer 1

Acactmen

v はベクトル
Av=λvが成り立つものが存在すると仮定して考える。
(1)v=(1,1,1,…,1)代入して上の式でλ=mでok
(2)v=(v1,v2,…)と成分をおいて常識が成り立つとする。
|左辺の各成分|=|a(i,1)v1+a(i,2)v2+…|<=max|vj|*m
ここで三角不等式を用いた。
次に仮定の式より左辺の各成分が|λvi|と等しく任意のiで成り立つから比較してok

ちょっとヌケがあるかもしれませんが悪しからず。

Acactmen

常識は上式の間違いです。すみません