Question

soboro

数3です。
この式変形を教えてください。

192
重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･ はさみうちの原理
数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ･･････) を満たすとき
(2)3-an+1< 1/12 (3-an)を証明せよ。
3
(1) 0<a<3 を証明せよ。
(3) 数列{an} の極限値を求めよ。
指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法の利用。
(2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。
(3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等
!
式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める。
はさみうちの原理 すべてのnについて n≦an≦gn のとき
limp=limgn=α ならば
n-00
7140
なお、次ページの補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
解答
(1) 0<an<3
① とする｡
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3
n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから
ak+1=1+√1+an>2> 0
練習
③ 113
.…....
ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3
したがって
0<ak+1 <3
よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nについて ①は成り立つ。
3-An
-(3-an)
(2) 3-an+1=2-√1+an
2+√1+an
(3)(1),(2) から 0<3-an
S
したがって
liml
2 (13) (34)=0であるから
11-00
lim(3-an)=0
1400
liman=3
n-1
≤ (1) ² (3-a₁)
3
n-00
LE
a=2, n≧2のとき an
liman = a
n→∞
3
2
[類 神戸
p.174 基本事項 3 基本 105
van-1
1
数学的帰納法による。
◄0<a₁<3
KOM
0<a から √1+an>1
an<3から √1+ak <2
<3-α>0であり、a>0か
ら
2+√1+an>3
n≧2のとき, (2) から
3-an< (3-an-1)
<(1) ²(3-an-2).....
n-1
· < (-/-) "¹¹ (3-as)
3
を満たす数列{an}について