Question

ぴひょ

区間に文字を含む三次関数の最大最小

場合分けの方法について

f(a)=f(a+2)とはなんですか？
f(x)=-27の時、f(x)=5の時の極値を持つ点出ない方の点(写真三枚目黒丸)を求めてから場合分けをするのかと思いました。

解説お願いします。

練習
214
f(x)=xx.x とする。 区間 t≦x≦t+2におけるf(x) の最小値m (t) を求めよ。
f(x)=3x²-6x-9
=3(x+1)(x-3)
f(x)=0 とすると
x = -1.3
f(x) の増減表は右のようになる。
f'(x) +
-1
20
極大
5
***
3
0 +
(極小)
-27
7

数学ⅡI
よって、y=f(x)のグラフは図の
ここで、<+2 すなわち
-3<a<-1であるαに対し、
f(x)=f(o+2) となるαの他は
ゆえに
[2]
@"-3a²-90
=(a+2)^-3(+2)^-9 (α+2)
3cx*=11
¥33
3
-+15
√33
3
ハー
√33
3
{4}3<t のとき
以上からt<!
Stかつけ+2<3 すなわち
-3<a<-1であるから
のとき m(t)=f(t)=1³-31²-9t
¥33
3
Ale
01 √21
-27
√33
3
13のとき
St<1のとき
√33
3
[3]
m(1)=f(t+2)=13+312-91-22
すなわち 1553のとき
m(t)=f(3)=-27
m(t) = f(t)=1²³-31²-91
3<tのとき m(t)=1-31-9t;
/33
m(t)=-27
<1のとき
区間
「極大値を与える点があ
れるときは、
1(c)-1(0+2) Cha
ともの大小により、
分けして考える。
m(t)=t³+3t²-91-22;
区間の左端で
区間の右端で
ら、
← (最小値)=(極小量
区間の左端で

(*)
5
√+2
A+2
729
the
(
x=3
○でかこった
+2 のとき最小値をとる

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

TAA

tを始点とする範囲2の区間を左から順に動かすことをイメージしてください。

初めはx=tの地点で最小値を取るのですが、途中でx=tとx=t+2で2つとも同じ値を取るところが存在し、その後はx=t+2で最小値を取るようになります。

ここで場合分けが必要になります。

この入れ替わる境目のときのx座標をαと置いて、f(α)=f(α+2)からαを求めます。

さらに区間を右に動かすと、区間内にx=3が入ってきます。ここで場合分けをして、このとき極小値がそのまま最小値となります。

次に場合分けが必要になるのは区間からx=3が出るときです。

質問の4行目の意味がイマイチわからなかったので、もし疑問が解消されないようでしたら追加で質問お願いします！

TAA

質問の4行目言いたいことはわかりました。

ただ、黒丸の座標はこの問題では全く関係ないです。

「区間内のどこで」最小値を取るかということだけが重要で、

・x=tで最小値を取る場合
・x=t+2で最小値を取る場合
・x=3で最小値を取る場合

で場合分けをします。

ぴひょ

丁寧な解説、ありがとうございます。最小値をとる区間の端が入れ替わる時を考えられていませんでした。
1つ質問なのですが、f(‪α‬)=f(‪α‬+2)となる時の場合分けは模範解答(質問の写真2枚目)の[1]or[2]のどちらかに含まれていれば別で分けなくて大丈夫でしょうか？

TAA

「どちらかに含まれて…」で途切れてしまっています💧
最後の部分もう一度書いて頂いてもよろしいですか？

ぴひょ

これで見えますでしょうか？お手数おかけして申し訳ございません。

TAA

ありがとうございます！
この関数は連続なので、分ける必要はありません。

ぴひょ

ありがとうございます。理解出来ました！