この問題の（3）の場合分けの仕方についてです。曖昧な問題で申し訳ないのですが

数学

高校生

解決済み

2年以上前

この問題の（3）の場合分けの仕方についてです。曖昧な問題で申し訳ないのですが、場合分けのやり方がよくわかりません💦軸で分けてるわけでもないし…最大、最小の場合などの求め方はわかるのですが…

3 2次関数 (Te y=f(x)のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。 y=f(x) のグラフがx軸から切り取る線分の長さが2であるようなαの値を求めよ。 Ke y=f(x) のグラフがx軸の 0≦x≦4. の部分と共有点を1つだけもつようなα の値の範囲を求めよ。 (配点20) がある。ただし, aは定数とする。 f(x)=x-ax-a+8

配点 (1) 4点 (2) 6点 (3) 10点解答 f(x)=x-ax-a+8 (2) = ·a+8 よって、頂点の座標は (-o-ats) 答への A f(x) を平方完成することができた。道のり F答えを求めることができた。 (1)より, y=f(x)のグラフの軸は直線x= ¾/Q y=f(x)のグラフがx軸から切り取る線分のy=f(x) x=12/2 長さが2となるとき、右の図のように,x軸との共有点のx座標は 11/18 +1.12/18-1 (-a+8) 7-10 となる。 y=f(x)のグラフが点(+1.0)を通るから、(+1)=0 より -28 - +1x <y=a(x-p)^+q (q≠0)のグラフの頂点の座標は (p,g) 2次関数のグラフは、その軸に対して線対称である。 ◄ f(x) = (x - 2)²-4²-a +8 15

(3) y=f(x)のグラフがx軸の 0≦x≦4の部分と共有点を1つだけもつのは、次の3つの場合が考えられる。 (i) x軸の「0<x<4」の部分と1点で交わり、かつ、「x<0 または 4<x」の部分と1点で交わる。 (i) x軸の「0≦x≦4」の部分点(0, 0) または点 (4, 0) のいずれか1点のみで交わる。 x軸 0≦x≦4」の部分と接する。ここで∫(0)=a+8, f(4)=-5α+24 (i)のとき f(0)f(4) < 0 (-a+8)(-5a +24) <0 (a-8) (5a-24) < 0 24 よって / <a<8 (i)のとき (0)=0 とすると -a+8=0 a = 8 このとき f(x)=x-8x=x(x-8) よって, y=f(x)のグラフとx軸は2 点 (0.0) (8.0)で交わるから, 適する。また (4)=0 とすると -5a+24=0 24 5 y₁ y=f(x)) V このとき f(x)=2x+1/06 24 =(x-1)(x-1) よって. y=f(x)のグラフとx軸は2 点(4,0), (1,0)で交わるから、不適。のとき軸がx軸の 0≦x≦4の部分にあり、頂点のy座標が0になるからすなわち号イかつーー -a+8=0 0≦a≦&かつ+40-32=0 24 5 Q'+4a-32=0を解くと (-4)(+8)=0 a=4, -8 0≤a≤8 h) a=4 (1)~(m)より、求めるαの値の範囲は <n≤8 x y=f(x)l U 04 5 4 0 Q 2 y=f(x) 30-> 4 x 18 x y=f(x) a = 4,24 y=f(x) f(0) (4) が異符号になることが条件である。 <y=f(x) のグラフが点(0, 0) を通るときである。 <y=f(x)のグラフが点 (4.0) を通るときである。 <a ≤8 Mass であることに注意する。

二次関数解の配置

回答

✨ ベストアンサー ✨

やはり

2年以上前

他の解の配置問題と違って軸条件を考えないのは軸がどの位置にあろうと聞かれている解は0≦x≦4にあるためです。

(i)の場合分けは端点x＝0、4がf(x)＝0を満たさない、つまり共有点とならない場合です。このときf(0) × f(4)<0としているのはf(0)とf(4)が0でないとき、f(0)とf(4)は異符号の関係にある(一方がx軸より上でもう一方は下)、つまり正負の切り替わりがある→0<x<4にf(x)＝0となるaが存在するからです。よってその時のaの範囲を調べます。

(ii)の場合分けは端点x＝0、4のどちらかがf(x)＝0を満たす場合。それぞれのxの値の時の交点がxの範囲を満たすか調べます。

(i)、(ii)の場合分けがf(x)＝0となるxの値が2つあることを前提に考えているのに対して、(iii)の場合分けはそもそも頂点のf(x)の値が0、つまりf(x)＝0を満たすxの個数が一つとなる場合です。

Iris _cgsz 2年以上前

なるほど!前よりかなり分かりました!しかし、このオレンジの枠のところがいまいちまだ分かりません💦
X ^-8Xとはどこのことですか？

やはり 2年以上前

どこのこと、というよりかはaの値を代入した時のf(x)ですね。

f(0)が0となるとき、単なる方程式となるわけですから、aの値を求めることができます。(今回はf(0)＝0でa＝8)a＝8の時、f(x)にaを代入するとf(x)＝x^2 -8x＝x(x -8)となります。このときx軸との交点、つまりf(x)＝x(x -8)＝0となるのはx＝0、8でこれは確かに0≦x≦4に一つしか解を持っていませんのでaは適切です。

次にf(4)が0となるとき、同様にしてaの値を求めることができ、代入するとf(x)＝x^2-24/5x＋16/5となります。しかしこのグラフとx軸の交点、つまりf(x)＝0を解くと、確かにx＝4で交点を持つのですが、もう一つの解が0≦x≦4の範囲に入っており、これは0≦x≦4の範囲に一つの解を持つと言う条件に反します。よってこのときのaの値は不適です。