✨ ベストアンサー ✨
(1)d_mの定義よりmC1をd_mで割り切れるためにはd_mがmの正の約数であることが必要。mが素数のとき,mの約数は1またはmであるがm≧2よりd_m＝m(必要)
このとき,mC2,...,mCm−1がmの倍数であるかについては
2≦k≦m−1の自然数kに対してmCkを考える。
mCk＝m!/(m−k)!k!
mが素数であることから分子のmが分母の何かしらの因数と約分されることはないのでmの倍数になっている。(十分)
(2)(i)k＝2のとき
2^m−2＝(1＋1)^m −2
＝mC0＋・・・＋mCm−2
＝mC1＋・・・＋mCm−1
よりd_mで割り切れる。
(ii)k＝nのとき
n^m−n＝ℓd_m(ℓは自然数)が成り立つと仮定すると
k＝n＋1のとき
(n＋1)^m−(n＋1)
＝mC0・n^m＋mC1・n^(m−1)＋・＋mCm−(n＋1)
＝(n^m−n)＋mC1・n^(m−1)＋・＋mCm−1・n
＝ℓd_m＋(d_mの倍数)
よって、k＝n＋1のときも成り立つ。
ゆえに、すべての自然数kに対して題意は示された。
(2)で訂正です。
kはすべての自然数でしたのでk＝1の時を最初に考える必要がありました。実際,k＝1のときは
k^m − k ＝0となって題意を満たします。