Question

HAL

記述が正しいかどうか見てほしいです。答えは合っているのですが、僕の解き方と同じ人は一人もいなくて…
数学が超得意な方よろしくお願いします。

nを自然数とする｡ 次の3つの不等式 (1), (2)、(3) をすべて満たす自然数の組
(a,b,c,d)はいくつあるか。 nを用いて表せ。
(1) 1≦a<d≦n
(2) a≦b <d
(3) a<c≤d
[04京都大]

(1)において.
1 ≤a<d≤n
1<a+1 <d+1 <h+2
(2)において、
a ≤ b <d
⇒0+1 ≤ b+1 <d+1
(3) において
acced
a+1 ≤ c < d + 1
On
(3)
より
2 = a +1 ≤ b+1 <d+] ≤n+l
2 ≤a+1 ≤ c <d+| ≤n+ /
√2 ≤a+1 <b+2 <d+2 ≤n+2
2 ≤ a+| <C+1 <d+2 ≤n+2
以上より④を満たす自然数の組
(a+1, b+2, C+1, d + 2) ³ ¾ à h
ばよいことになる。
(4)
(₁) b+2 < C+ [ 9 &#
20+1 <b+2 < C+1 < d + 2 ≤h+2
これを満たす組はntiCq通り
(ii) b + 2 = c + 1 9 × ²
2 = a +1 < b +2=C+1 <d+2 ≤n+2
これを満たす組はntiC3通り
(i) C+/ <b+2 a**
2 ≤ at 1 <Ctl <b+2 <d+ ² ≤n+2
これを満たす組はnti C4通り
(1)~(ⅲii)より求める総数は
n+₁ C₂ +n+² C3 +n+1fq
= 2 x=-=/ 4 (h+1) n(n-1)(n-2) + ((n+1)(n-1)
24
= // (h+i)n(n-1)(n-2 + 2)
1/2 n²(n+1)(n-1)
(7)
(答)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たまご

回答が素晴らしいというか綺麗すぎて、自分なら思いつきませんね。
特に見たところ論理破綻しているところは見受けられません。大丈夫だと思いますよ
強いて言うなら、①～③より だと3つ全ての共通範囲みたいに見えるかなって感じです
本当はbの式とcの式で分ける必要があるので、①,②より〜 と ①と③より〜 って分けた方が見やすいかなって感じです
それ以外は本当に完璧です！！
特に ④の前の式だと不等号に等号を含んでいないものがd+1だけど二式両方に含まれているから比較できない
だから変形してb+2とc+1の比較に持っていけるのが凄いです
ここまで言ってて質問者様と考え間違ってたら申し訳ないです

HAL

回答ありがとうございます。
確かに、①②より〜、①③より〜ってしたほうがいいですね。
何より自分の解答を素晴らしいと言ってくれたことがとても嬉しいです！ありがとうございました！