数学
高校生

①②の連立で、両辺正を証明せずに2乗ができた理由を教えてください。
右辺は必ず正になるのでしょうか。

例題 85 曲線 y=√2x-3 思考プロセス 共有点の個数 図で考える 1/11 無理関数のグラフと直線の共有点の個数 →2x-3=ax-1 の実数解の個数と一致するが, 両辺を2乗すると無縁解が現れ、考えにくい。 ② : y = ax-1 はどのような直線か? 0= →点(0,-1)を通り,傾きαの直線 共有点の個数が変化する境目となるαの値を求める。 Action》 無理関数のグラフと直線の共有点の個数は, グラフの特徴から考えよ - RE 3 解 ① を変形すると y = √2x-3= √2(x-2). また, y = ax-1 は定点(0,-1)を通り,傾きαの直線 を表す。 (ア) 直線 ② が点 (1,0)を通るとき 34 22 ・①と直線y=ax-1... ② の共有点の個数を調べよ。 ... 2 3 (イ)直線②が曲線 ① と接する とき ① ② を連立すると √2x-3=ax-1 両辺を2乗して, 整理すると a2x2-2(a+1)x+4=0 ・③ グラフより明らかに a>0 であるから, 2次方程式 ③ の 判別式をDとするとD=0 e Gra C347AM D の友 3 2-1 より a= a ≦a <1のとき 10<a< 3 la ≦ 0, 1 <a のとき 2 9 心 = (a + 1)² - 4a² = − (3a+1)(a − 1) (3a+1)(a-1)= 0 a = 1 よって a>0 であるから 81305 ア), (イ) と ①,②のグラフより、共有点の個数は y=√2x-3 O 3/1 ま 曲線 y=√4-2① 53-2 y=ax-1/(イ) a=1のとき 1個 ya y = ax-] 0 個 CÂU ÂU CÓ LỖI MÀ RA, CO し館 G x ②の値が()のときより小 さく,0より大きければ, 共有点は1個である。 218 37 15% (10.5 ① 友時代 la の値が (イ) のときより大 きければ, 共有点はない。 6 ² 0 であるから、③は 必ず2次方程式であるこ とに注意する。画 a= のときは次の 3 方式 図のような状態である。 ① ya =1+2 O NAJTIMI I
関数

回答

✨ ベストアンサー ✨

必ず正です。

まず、その曲線上の点のy座標は必ず≧0です。なので、その曲線と直線の『共有点のy座標』は必ず≧0です。

『共有点(の一つ)のy座標=0 』の場合は(ア)でやっています。

(イ)での『共有点のy座標(接点のy座標)』は必ず>0です。

なので、(x,y)をその曲線と直線の接点としたとき、(x,y)は直線上の点でもあるので、接点のy座標yはy=ax-1であるわけですが、『接点のy座標』は必ず>0なので、接点のy座標y=ax-1は必ず>0です。

無論、xに何の条件もない状況で、どんな実数xについてもax-1が常に>0であるわけではありません。

以上のように、接点のy座標ax-1は必ず正なわけですが

p=q ⇒ p²=q²

はp,qが負であっても正しいので、p,qが負であっても「等しいものを二乗して=で結ぶ」という行為に問題ありません。

pとqは=でないのに=で結んだりしてたらもちろん問題ありです。

p²=q² ⇔ p=q or p=-q

なので、「p²=q² ⇒ p=q」は正しくありませんのでこちらは要注意です。

なるほど…!理解しました。
ご丁寧にありがとうございます。

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回答

両辺が負だとしても2乗を=で結ぶことは可能です。
負の時に√をつけられないのとごっちゃになってませんか?

ありがとうございます、、ごっちゃになってました…

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