Question

さこ

確率の問題です。

1枚目：問題(黄色部分)
2枚目:解説

簡単にいうとAが優勝する確率をAが勝利した回数ごとに場合分けして計算しています。

その場合わけの中で青部分の計算がよく分かりません。

解説の赤部分を見ても何の計算をしているのか省略されていて理解できないんです。。。
(上に書いてることはわかっているのですが🧐)

どなたか分かりやすく教えてください🙇🏼‍♂️

(2) S チーム A,B,C,D,Eが総当たり戦を行い、 どの2チームも1回ずつ試合
を行う。 ただし、 どの試合においても引き分けはないとする。 この総当たり戦に
おいて,最も多く勝利をあげたチームを 「優勝」 とする。 優勝するチームは複数
あってもよい。 例えば、全勝のチームがなく, 3勝1敗のチームが3つあった場
合は、3チームとも優勝とする。
(a)どの試合においても各チームが勝つ確率が1/12 であるとする。このとき
FAT
●全勝のチームがない確率は
●全勝のチームもなく, 全敗のチームもない確率は
である。
●チームAがちょうど3勝する確率は
(b) チームAが他の4チームに勝つ確率はいずれも 12/23 であり、他の4チーム
が1/1/2 であるとする。
B,C,D, E同士の試合においては各チームが勝つ確率が
このとき
●チームAが優勝する確率は
●チームAが3勝し,かつ優勝しない確率は
EX
タチ
テト
である。
である。
である。
である。

(b)チームAが他の4チームに勝つ確半がいずれも 1/2 であり,他の4チ
B.C.D. E同士の試合においては各チームが勝つ確率が であ
るとき
●チームAがちょうど3勝する確率は
C. (²/1) - 1/2 = 8 8 11
32
●チームAが3勝し、かつ優勝しないのは、チームAが敗れたチームが全
勝するときであるから、 確率は
4
(金)-1/
32
81
位)の確率は
●チームAが優勝するのは
(i) チームAが全勝する
(i) チームAが3勝1敗で全勝チームがいない
(Ⅲ) 全チームが2勝2敗である
のいずれかである。
ii)の確率は
(-3) -16
=
81
32 4
→ケーシ
81
スーソ
28
81 81
〓=
チームAが勝するナームの選び方は C2=6通りである。
チームAがチームB、Cに勝利し. チームD, Eに敗れたときを考える
と、チームBが2勝する相手の選び方は 3C2=3通りであり, CとDを
選んだときは,CはD. Eに勝利し.DはEに勝利する。(表1)
CとEを選んだときは,CはD, Eに勝利し、 EはDに勝利する。(表
2)
DとEを選んだとき､CがDに勝利すればDはEに勝利する。(表3)
CがEに勝利すればEはDに勝利する。(表4)
(表1)
D
B C
00
A
NU
A
B
C x
DIO
E OO X x
X
A
X
×
x
X
〇〇
×
×
(表3)
B C
〇|〇
+
x
×
x
E
8
= 27 (1/2 + 3/2) = 27 × 1/6
X
32
X
D E
×
X
O
×
〇|〇
A
B
C
X
A
×
54
(1)〜(面)より。 チームAが優勝する確率は
→タート
(表2)
B C
〇一〇
X X
A
x
TO
X
DOO
E O X × O
A
B
C
O
D O X X
E O
O
O
EO
チームAがどの2チームに勝利したときも同様であるから
‹© ²( ² ) ( ¹² )* × { 2 × (-¹-) * × ( ² )² × ² / +(!) ² × ( ² × ²
x2x
}
(表4)
B
00
A
B
C
× O
D O X O
D
×
x X
E
x
O
〇〇
CD E
x
X
x
1628 1 91
+
81 81
54
162
(3) (a) (*)は2+√5iを解にもつので2-√5iも解にもつ。

確率

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

カルロス

画像の赤線部分の話の前に別解的なものになるんですが、

実際に表1のようになる確率を出してみます。

AがBに勝つ（BはAに負ける）ことを

A▷B または B◁A

と書くことにします。そうすると表1のパターンは

A▷B かつ A▷C かつ A◁D かつ A◁E
かつ
B▷C かつ B▷D かつ B◁E
かつ
C▷D かつ C▷E
かつ
D▷E

ですね。確率は画像に書いたようになるかと思います。

次に表２のパターンですが、

A▷B かつ A▷C かつ A◁D かつ A◁E
かつ
B▷C かつ B◁D かつ B▷E
かつ
C▷D かつ C▷E
かつ
D▷E

ですね。確率は、書きませんけど、表１と同じではないでしょうか。

で、表3と表4の場合も同じように考えると、確率は同じになるのではないでしょうか。

そうすると、AがBとCに勝利し、全チーム2勝2敗となる確率は、表1の確率×4で、2枚目の画像のようになるのではないでしょうか。

で、これが「AがBとCに勝利し、全チーム2勝2敗となる確率」なわけですが、Aが他の２チームに勝ったときも同様なので、問題の答えは三枚目の画像のようになるのではないでしょうか。

※解答に書いてある確率と一致してます。

以上、別解的なものでした。

で、質問の赤線の部分ですが、コメントに続きます。

カルロス

質問の赤線の部分ですが、まず

『BがCとDに勝った』『BがCとEに勝った』
の2パターン（表1, 表2）
と
『BがDとEに勝った』パターン（表3, 表4）
では

ちょっと違うところがあるんです。

『BがCとDに勝った』時点で、全チーム2勝2敗の条件からC vs D, C vs E, D vs Eの結果は自動的に決まります。（表1）

『BがCとEに勝った』時点でも、全チーム2勝2敗の条件からC vs D, C vs E, D vs Eの結果は自動的に決まります。（表2）

一方、『BがDとEに勝った』時点では、C vs D, C vs E, D vs Eの結果は自動的に決まりません。 なので、C vs D の結果で分けてます。（表3, 表4）

で、おそらく

赤線の前半部分が表1, 表2、
赤線の後半部分が表3, 表4

をそれぞれ表しているのだと思います。

カルロス

表3, 表4についてもう少し細かく言うと、

AはBに勝ち、かつCに勝ち、かつDに負け、かつEに負け
かつ
BはCに負け、かつDに勝ち、かつEに勝つ

というところまで表3, 4で共通ですよね。（画像の赤と黄色のところ）

表3のようになる確率
=赤の確率×黄色の確率×ピンクのとこの確率

で

表4のようになる確率
＝赤の確率×黄色の確率×紫のとこの確率

です。

なので、

表3のようになる確率+ 表4のようになる確率
=赤の確率×黄色の確率×（ピンクの確率+紫の確率）

となります。ピンクの確率と紫の確率は等しいので

表3のようになる確率+ 表4のようになる確率
=赤の確率×黄色の確率× 2 ×ピンクの確率

となります。

表3, 表4の部分（上のコメントの緑の部分）はこれだと思います。

さこ

凄く丁寧に解説してくださりありがとうございます🙇🏻‍♂️
とても役に立ちました！