Question

麦

高一の数学Aです。

この問題が分かりません。

(1)の回答には５の倍数、25の倍数、125の倍数の個数を足していたのですが、ダブってしまう数があるのに何故足し算していいのか分かりません。

(2)の回答には「因数10の個数は素因数5の個数と一致する」と書いてありましたが、何故一致するのか分かりません。

どなたか教えて下さい🙇‍♀️

MAX
SHOWROLA,
(S)*
246 1から400までの400個の自然数の積 N=1･2･3········400 について,
次の問いに答えよ。
MOJ
(1) N を素因数分解したとき, 素因数5の個数を求めよ。
(2) N を計算すると, 末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
(A)

246
■■■指針■
(2) 末尾に続く0の個数は,Nに含まれる因数
10の個数に等しい。
2.5=10であり, Nを素因数分解したときの
素因数2の個数は, 素因数5の個数より多い
から, 末尾に連続して並ぶ0の個数は素因数
5の個数に等しい｡
(1) 1 から 400 までの自然数のうち,
5の倍数の個数は
5･15･25･3, ....
5.80 の 80 個
52の倍数の個数は
52.1,52.2, 52.3, ....., 52.16 の 16 個
53の倍数の個数は 086
5.1,52,53.3 の 3個
よって、 素因数5の個数は全部で
80 + 16 + 3 = 99
(2) 末尾に続く0の個数は,N=1･2･3･.....･･400
に含まれる因数10の個数であり,10は2･5 と素
因数分解される。
1,2,3,
..., 400 に含まれる素因数2の個数
は,明らかに素因数5の個数より多いから,因
数 10 の個数は素因数5の個数と一致する。
したがって,Nを計算すると, 末尾には0が連
続して99個並ぶ。
[参考]
1からnまでの自然数のうち, kの倍数の個
数は,n をkで割ったときの商である。

素数

Answer 1

フリーデ

1について、
逆です。不足してしまうのでたしてます。
5で割るだけだとそれぞれの5の倍数の5という数のみを数えています。これだけだと25などの5が２つある数に含まれる5の数は数えられていません。
2について、
10の素因数は2と5ですが、2の方が2周期でくるので5が5周期でくることに比べて周期が短い。つまり5の数の方が少ないことがわかる。つまり5の数分だけ10があります。