x²-ax-b³=0……①
①の２つの解をα,β（ただし、|α|<|β|)とおく.
解と係数の関係……(注1)から、
α+β=a……②
αβ=-b³……③
aは奇数で、②よりα+βも奇数.
なので、α、βのどちらかが奇数で、もう一方が偶数。……★
ここで、bは素数だから、③からα、βはともにb³の約数.
∴|α|、|β|は
|α|=1、|β|=b³
または
|α|=b、|β|=b²
の2通りが考えられる.（∵|α|<|β|)
まず、|α|=b、|β|=b²とすると、
α,βは共に奇数か共に偶数なので、★と矛盾.
∴|α|=1、|β|=b³.
αが奇数なので、βは偶数(∵★)
∴b³は偶数。bは素数なので、b=2 ……(注2)
③からαβ=-8<0なので、αとβは異符号.
②よりα+β=a>0より、α<0,β>0だから、α=-1,β=8.
∴a=7,b=2 (∵②)
(注1) 2次方程式ax²+bx+c=0の2つの解をα,βとおくと、
α＋β＝-b/a、αβ＝c/a
(注2) 偶数かつ素数を満たすのは2しかない.
