Question

A

最大値Mの求め方がよく分からないので、詳しく説明をお願いします。

13aを正の定数とするとき, 関数f(x)=x(x-a)^ について考える。
f'(x)=(x-ア
(i) 0<a<
I
オ
I
オ
≦a≦
-
イ
IC ウ)であるから, 0≦x≦1におけるf(x)の最大値Mは
LAJ
となるので, M は α =
|
カ<αのとき, M=(a- | キ
カ のとき, M=
ス セ
ケ
コサ
のとき, 最小値
シ
タチ
ク
をとる。

をとる。
13 7. a, 1. 3, 7. a, I. 3, . 4, t. 3,
1,2, ケ. 4, コサ. 27, シ 3, ス. 3,
セ4, ソ 1, タチ. 16
【解説】 f(x)=x(x-a)^=x-2ax+ax より
f'(x)=32²-4ax+a²
=(x-a) (3x-a)
ƒ(a)=0, ƒ(²-a)= 24/7a²
f(x) = 12/17 d" となるこの値を求めると
x²³-2ax² + a²x=27a² = 0
(x− a) (x²-3 ax +
(x-7a)²(x-za)=0
are
x=
a>0より, y=f(x)
のグラフは右の図のよ
うになる。
(ア) // a <1 すなわち,
a<2のとき、最大値は
M=f(1)=(1-α)2
=(a-1)2
(1) a≤i≤a +*
わち, 2a≦3のとき,
最大値は
4
M=f(-13-a)=27a³
(ウ) 1</1/23a すなわち
a>3のとき, 最大値は
(ア) (ウ)のとき,
(ア)のとき,
dM
da
dM
da
a²) = 0
27 a³
-=2(a-1)
y4
4
279
N
O
a
5a³
1270
O
YA
M=f(1)=(1-a)²=(a-1)^
以上より,0<a<2,3<a のとき
M=(a-1)^
1≦a≦3のとき, M=
o
4
O 1
za
11
a
a
<O (ウ)のとき, CM > 0
da
a4
a
ga
3ª
a 14
218
48
ga
dM_4
da
よって, Mの増減表は次のようになる。
(イ)のとき,
a
dM
da
M
0
=a²>0
よって, M が最小
3
となるのは,a=-
4
15
7
14 (1) アイ. 1, ウ.2
OOT より
3-4
このときで、最小値は (11/16)
1
16
4--1≤t≤√2
1
16
T5
t
MA
f'(t)
f(t)
16
(2) I. 4, t. 3, . 3
(3) 2, -1, コ.7, サ.4
-1
to
...
+
(4) シ.5, ス. 2, セン. 1 )
解説 (1) 三角関数の合成公式より YA
UM-N 1
+=√2 sin(0+4)
450+45
1/12in(4)≦1より
(3) f(t)=43 3 とおくと
f'(t)=12t²-3
>
よって, sin20=t2-1 より
y=t{4(t2-1)+1}=4t3-3t
&t=3(2t+1) (2t-1)
y= = 27a²³
1
4
2
3
(2) t = sin+cose の両辺を2乗すると
t2=1+2sin@cos0=1+sin20
4
3
0|
1
2
...
+
1 におけるf(t) の増減表は次の
ようになる。
y=(a-1)²
√2
A
/ 4
+ 0
/ 極大 極小
K
0 +
a
1 X
√2
47
73=1
極小値: (12)=4x (12) -3×(12)=-1
|極大値一極小値=1-(-1)=2
t=-1のとき,極大値をとるから
-
15
05
16
極大値: (-2)-4(-2122-3(-2) F
1

微分