数学
大学生・専門学校生・社会人

最大値Mの求め方がよく分からないので、詳しく説明をお願いします。

13aを正の定数とするとき, 関数f(x)=x(x-a)^ について考える。 f'(x)=(x-ア (i) 0<a< I オ I オ ≦a≦ - イ IC ウ)であるから, 0≦x≦1におけるf(x)の最大値Mは LAJ となるので, M は α = | カ<αのとき, M=(a- | キ カ のとき, M= ス セ ケ コサ のとき, 最小値 シ タチ ク をとる。
をとる。 13 7. a, 1. 3, 7. a, I. 3, . 4, t. 3, 1,2, ケ. 4, コサ. 27, シ 3, ス. 3, セ4, ソ 1, タチ. 16 【解説】 f(x)=x(x-a)^=x-2ax+ax より f'(x)=32²-4ax+a² =(x-a) (3x-a) ƒ(a)=0, ƒ(²-a)= 24/7a² f(x) = 12/17 d" となるこの値を求めると x²³-2ax² + a²x=27a² = 0 (x− a) (x²-3 ax + (x-7a)²(x-za)=0 are x= a>0より, y=f(x) のグラフは右の図のよ うになる。 (ア) // a <1 すなわち, a<2のとき、最大値は M=f(1)=(1-α)2 =(a-1)2 (1) a≤i≤a +* わち, 2a≦3のとき, 最大値は 4 M=f(-13-a)=27a³ (ウ) 1</1/23a すなわち a>3のとき, 最大値は (ア) (ウ)のとき, (ア)のとき, dM da dM da a²) = 0 27 a³ -=2(a-1) y4 4 279 N O a 5a³ 1270 O YA M=f(1)=(1-a)²=(a-1)^ 以上より,0<a<2,3<a のとき M=(a-1)^ 1≦a≦3のとき, M= o 4 O 1 za 11 a a <O (ウ)のとき, CM > 0 da a4 a ga 3ª a 14 218 48 ga dM_4 da よって, Mの増減表は次のようになる。 (イ)のとき, a dM da M 0 =a²>0 よって, M が最小 3 となるのは,a=- 4 15 7 14 (1) アイ. 1, ウ.2 OOT より 3-4 このときで、最小値は (11/16) 1 16 4--1≤t≤√2 1 16 T5 t MA f'(t) f(t) 16 (2) I. 4, t. 3, . 3 (3) 2, -1, コ.7, サ.4 -1 to ... + (4) シ.5, ス. 2, セン. 1 ) 解説 (1) 三角関数の合成公式より YA UM-N 1 +=√2 sin(0+4) 450+45 1/12in(4)≦1より (3) f(t)=43 3 とおくと f'(t)=12t²-3 > よって, sin20=t2-1 より y=t{4(t2-1)+1}=4t3-3t &t=3(2t+1) (2t-1) y= = 27a²³ 1 4 2 3 (2) t = sin+cose の両辺を2乗すると t2=1+2sin@cos0=1+sin20 4 3 0| 1 2 ... + 1 におけるf(t) の増減表は次の ようになる。 y=(a-1)² √2 A / 4 + 0 / 極大 極小 K 0 + a 1 X √2 47 73=1 極小値: (12)=4x (12) -3×(12)=-1 |極大値一極小値=1-(-1)=2 t=-1のとき,極大値をとるから - 15 05 16 極大値: (-2)-4(-2122-3(-2) F 1
微分

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