数学
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分散の加法性の証明について質問があります。
2つの互いに独立な確率変数X,Yについて、それぞれの分散V(X),V(Y)がV(X)+V(Y)=V(X+Y)と表されることを証明しようと思いました。
そこで、分散が2乗平均引く平均の2乗であることを利用して、以下のようにやってみました。

V(X+Y)=E[(X+Y)^2]-{E(X+Y)}^2
=E(X^2+2XY+Y^2)-E(X+Y)E(X+Y)
= E(X^2+2XY+Y^2)-E(X^2+2XY+Y^2)
=0

絶対違うなと思ったので考えてみたのですが、怪しいのがE(X+Y)E(X+Y)をE(X^2+2XY+Y^2)としたところです。同じ確率変数2つは互いに独立じゃないから間違えてるんですよね?
もし他のところがおかしかったら教えて下さい。

回答

✨ ベストアンサー ✨

Eには線形性があります。なのでE(X+Y)=EX+EYです。X,Yが独立だとEXY=EXEYとなるのであとはそれをもちいて式変形してけばできると思います。

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