Question

もう高校生

分散の加法性の証明について質問があります。
２つの互いに独立な確率変数X,Yについて、それぞれの分散V(X),V(Y)がV(X)+V(Y)=V(X+Y)と表されることを証明しようと思いました。
そこで、分散が２乗平均引く平均の２乗であることを利用して、以下のようにやってみました。

V(X+Y)=E[(X+Y)^2]-{E(X+Y)}^2
=E(X^2+2XY+Y^2)-E(X+Y)E(X+Y)
= E(X^2+2XY+Y^2)-E(X^2+2XY+Y^2)
=0

絶対違うなと思ったので考えてみたのですが、怪しいのがE(X+Y)E(X+Y)をE(X^2+2XY+Y^2)としたところです。同じ確率変数２つは互いに独立じゃないから間違えてるんですよね？
もし他のところがおかしかったら教えて下さい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

piss

Eには線形性があります。なのでE(X+Y)=EX+EYです。X,Yが独立だとEXY=EXEYとなるのであとはそれをもちいて式変形してけばできると思います。