Question

もう高校生

分散の加法性の証明について質問があります。
２つの互いに独立な確率変数X,Yについて、それぞれの分散V(X),V(Y)がV(X)+V(Y)=V(X+Y)と表されることを証明しようと思いました。
そこで、分散が２乗平均引く平均の２乗であることを利用して、以下のようにやってみました。

V(X+Y)=E[(X+Y)^2]-{E(X+Y)}^2
=E(X^2+2XY+Y^2)-E(X+Y)E(X+Y)
= E(X^2+2XY+Y^2)-E(X^2+2XY+Y^2)
=0

絶対違うなぁと思ったので考えてみたのですが、怪しいのがE(X+Y)E(X+Y)をE(X^2+2XY+Y^2)としたところです。同じ確率変数は独立じゃないですよね？だから間違えてるんですよね？
もし他のところがおかしかったら教えて下さい。