Question

ここ

(3)が理解できません、、
噛み砕いて教えていただきたいです、！！

X10 面積が3,15の△ABCがあり、AB=4,AC=60° <<BAC < 90° である。 また。
△ABCの外接円の中心を0とし、 直線BDと△ABCの外接円の交点のうち、 B でない方の
点をDとする。
(1) sin ∠BAC の値を求めよ。
4
(2) 辺BCの長さを求めよ。 また, 線分BD の長さを求めよ。
(3) sin ∠CAD の値を求めよ。 また, 直線BO と AC の交点をEとするとき、線分BE の
(配点 40)
長さを求めよ。

解法の糸口
線分BDは△ABCの外接円の直径であるから, ∠BAD=90° である。 三角比の性質から, sin CAD の値が
められる。 また、線分BEの長さは, △ABCと△ACDの面積比をもとに求める (本解)、あるいは、 △ABCの面
2通りに表して求める (別解), などが考えられる。
線分BD は△ABCの外接円の直径であるから ∠BAD=90°
よって
sin ∠CAD = sin (90° ∠BAC) = cos∠BAC=
次に、点Bから直線ACに引いた垂線と直線AC との交点をH, 点Dから
直線AC に引いた垂線と直線AC との交点を1とすると, BEHADEI
であるから
BH: DIBE: DE
また、△ABCと△ACD について,底辺をともにACとしたときの高さは
それぞれBH DI であるから
AABC: AACD
= AC-BH: AC-DI=BH: DI
① ② から
BE: DE = △ABC : AACD
ここで、条件より △ABC=3√15
また、直角三角形 ABD において, 三平方の定理より
よって
AD = √BD¹ - AB² = √(8√ 6 )* —-4²³ ·
3
△ACD=212AC・ADsin <CAD=12.6.4.55.1=115
1240 24.15
9
以上より
BE: DE=△ABC:△ACD=3,15:15=3:1
ゆえに
8√6=246
BE=BD=
= ³BD = 3.86-
=
190°の三角比
sin (90°0)= cos0
sin∠CAD=1, BE=2√6

Answer 1

ブドウくん

前半の問題
BDが直径となることに着目して、「直径に対する円周角は90度」を用いています。（1）ではsin∠BACを既に求めているので、この結果を用いると簡単に計算ができます。
∠CAD=∠BAD-∠BAC
= 90 -∠BAC
三角比の定義からsin(90°-θ)=cosθとなり、答えはcos∠BAC=1/4です。
図形的性質から180-θの公式を用いたり（円に内接する四角形の対角の和、補角の関係）今回のように90-θの公式を用いる問題はセンター試験やその模試でよく出題されていたので、共通テストでも出る（すでに出たかも）可能性があるので覚えておくべき発想ですね。ですが、円周角の定理からsin∠DBCとして、直角三角形DBCに着目しても三角比の定義から導けます。

後半の問題
円に内接する四角形で持ち合わせておくと便利な発想です。（写真1枚目）
こうなる理由は、写真2枚目のとおりであり、2枚目の①は高校受験のときにやったと思いますが、底辺共通の三角形の面積比は高さの比に等しいというやつで、その進化系です。解答ではこの証明と同じプロセスを辿っていますが、写真1枚目の結果が見えていたら△ABCと△ADCの面積比がBEとDEの比になるとわかります。（写真3枚目）
△ABCの面積は与えられており、△ADCの面積は面積公式を用いて、DA（△BADで三平方の定理）とCA（=6）と前半で求めたsin∠DACから求められます。