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基本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1)
(1) 整式P(x) をx-1で割ると余りは5,x-2で割ると余りはと
*-*
とき,P(x) をx-3x+2で割った余りを求めよ。 + XD-
(2) 整式P(x) x-1で割ると4x-3余り, xー4で割ると3x+5余る。
とき,P(x) をx2+3x+2で割った余りを求めよ。 + "xD+
CHART 割り算の問題
バカにされていないかの漁を求めるわけ
い。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+6 とおける。
特に, 余り R の次数が割式B の次数より低いことが重要なポイント!
条件から、このa,b の値を決定しようと考える。それには、割り算の等式 A=B0%
で, B=0 となるxの値 (これを●とする)を考えて, P(●) の値を利用する。
CROSSISTENT
P(1)=5
P(2)=7
①,②を連立して解くと
条件から
解答
(1) P(x) をx2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき
の商をQ(x),
acf
余りをax+bとすると, 次の等式が成り立つ。
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bB=(x-1)(x-2)
基本等式 A=BQ+R
① R の次数に注意 2 B=0 を考える
ゆえに
ゆえに
①から
P(-1)=-7
② から
P(-2)=-1
③,④を連立して解くと
a+b=5
2a+b=7
a=2, b=3
よって, 求める余りは 2x+3
(2) P(x) をx2+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったとき
商をQ(x), 余りをax+b とすると,次の等式が成り立つ。
P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b
また, P(x) を x2-1, x2 - 4 すなわち (x+1)(x-1),
P(x)=(x+1)(x-1)Qi(x)+4x-3
P(x)=(x+2)(x-2)Qz(x)+3x+5
0000
......
11
②
練習 (1) 整式 P(x) x+2で割った
②
253
をx2
(x)q
基本52
これとイから -a+b=-7
これとイから -2a+b=-1
a=-6, b=-13
-
■2次式で割った余りは、
1次式または定数。
(x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれ Qi(x), Qz(x)と)には,P(-1), P(-2)が
すると
要。 そこで, ①,②にそれ
①
20ぞれx=-1, x=2を代
入する (3)
整式
ペーシ
この。
剰余定理。 また,⑦
両辺にx=1 を代入する
と P(1)=a+b
割り算の基本
2次式で割った余りは,
1次式または定数。
&B=(x+1)(x+2) q
a,b の値を決定するため
ます
余り
ズ
......st
求める余りは-6x-13
S>NTJES
