Question

れいな

1通りは解いてみたのですが、等号成立までどうやって解いているのかが分かりません。どなたか教えてくださると嬉しいです。解答も載せておきます。

4
aを正の数とする。 zy 平面において, 点 A (a,0) をとり, C を双曲線
²-43²-4 とし, C2を双曲線²4²=4 とする。 以下の問いに答えよ。
(1) 点PがC1 上にあるとする。 このときAPを最小にする点Pとその最小値を
求めよ。
(2) 点PがC2 上にあるとする。 このときAP を最小にする点Pとその最小値を
求めよ。
(3) 点PがC1または C2上にあるとする。 このとき点 (2,0) が, AP の最小値を
与える点Pとなるようなaの値の範囲を求めよ。

662020年度 数学 〈解答)
2_2=2
11
22
t=1のとき直線PQ の方程式は
≪解説≫
≪立体Kを平面 z=a によって切ったときの切り口の面積, 立体Kの体
積≫
i=2のとき直線PQの方程式は
1
-1 =y=2
これら2つの直線と平面z=a との交点の座標は
1
(1za. 2 a, a)
2'
1/1/2のとき
t=1のとき
(1-a, a, a)
(n=1) {y = 'T
よって,平面z=a 上において,これら2点を通る直線の方程式は、媒介
変数を用いて
[x=t-at
4 解答
(0≤t≤1)
y=at
と表される。同様にして、1≦t≦2,23,3≦t≦4を考える。
≠0より
xx-yy-4 ...... ①
また, 直線 AP の方程式は
(1) 双曲線 C 上にある点P(x1, y1) (x>0,y10)に
対して、点Pにおける接線の方程式は平
(x-a)(x-a)y=0 yix-(x₁-a) y=ay₁ ......2
AP を最小にする点Pに対して①と②は垂
直であるから
x₁y₁ +4y₁ (x₁-a) = 0
岡山大理系前期
x₁+4 (x₁-a) = 0
5x₁ = 4a
=-1
YA
P(x,y)
ラス
A (a,0) *
岡山大理系前期
よって
このとき
また,
4y2=x2+4=
4a² + 25
25
V₁ = ±
-a.
a²
v25
16a²+100
25
4a² +25
5
/4q²+25
5
4a² +25
25
a,
V
と (α, 0) との距離は
√5a² +25
5
5a² +25
25
4a²+25
+
以上より、点P (2) その小 √√5a²+25
5
5
(2) (1)0<a≦2のとき
AP を最小にする点Pとその最小値は, 点P(20) のとき、最小値
(i)y=0のとき
2-a
(Ⅱ)a>2のとき
双曲線 C2 上にある点P( xz, y2)
(22)に対して, 点Pにおける接線の
方程式は
x2x-4y2y=4 ...... ③
また, 直線 AP の方程式は
2020年度 数学 (解答) 67
y2(x-a)(x2-a)y=0
yxx- (x2-a)y=ay ...... ④
AP を最小にする点Pに対して③と④は垂直であるから
x272+4y2(x2-a) = 0 ..... ⑤
x2+4(x2-α)=0
5x2=4a
よって 2012/24(ただし、122)
X2= =50
このとき
(答)
P(x2, y2)
C₂
y=1
A (a. 0)

682020年度 数学<解答>
4y22=x22-4=
32²-4a²-25
25
また,
y2 = ±
以上より
a.
よって
√4a²-25
5
(a,0)との距離は
a-2
20+FDE
16a²-100
25
√4a²-25
5
4a²-20a+25≥0
5a²-20a+20≥a²-5
a²-4a+42=a²-1
15
(a-2) ¹2 (√5²-25
a², 4a²-25
25
25
(i)y=0のとき,すなわち (x2, y2) = (20) のとき
>2を満たすすべての正の実数a に対して⑤は成り立ち (2,0)と
<as のとき
001 Or
と (a,0)との距離は
√5a²-25
5
5a²-25
25
5
ここで、a≧0のとき
(2a-5) ²20A HAO531st
as +
a
a-y5ser-25 (等号成立はa=
√5a²-25
Castry
岡山大理系前期
WIADO
19. JJR
(等号成立はa=2のときのみ)
2010-20
点P(2,0), その最小値 | α-2|
(③3) (2)より、0<a≦2のときのみを考えればよい。
0=(n=2) 204
>2のとき Plat ¥46²-25 その最小値
土
5
√5a²-25
5
(答)
岡山大理系前期
点PがC上にあるとき
(1)より, AP の最小値は
点PがC2
(2) より AP の最小値は
√√5a²
上にあるとき
ここで, la-2|と
JAARSV
(a²-4a+4) -
5-10
2
1
- (1/a²+1) = ²/
la-21> 5
√5a²+25
5
+25
5.847
+ 15 のグラフは右図のようになり
5-√10
0<a<
2
√5a² +25
la-21
をそれぞれ2乗して大小を比較する。
+38
(4²20g+15) に対してy=f(a)=4²-20a
> y=f(a)
のとき
2020年度 数学<解答> 69
ます
(等号成立はa=5-y1① のときのみ)
2
5-√10 sas 2/2 (
2
SHOPUSY √5a²+25JP448 44
la-2|≦
-TO
2
以上より, 双曲線C または C2 上にある点Pに対して, 点 (20) AP
の最小値を与える点Pとなるようなaの値の範囲は
(3)(2)の結果より 0<a≦o
5+√10 a
2
◆解説◆
≪x軸上の点と双曲線上の点との距離の最小値≫
(1) AP を最小にする点Pに対して, 点Pにおける接線と直線 AP は垂直
であることを用いて点Pの座標を求め, 2点間の距離からその最小値を求
める。
(2)基本的な考え方は (1) と同じであるが, 0<a≦2,a>2の場合分けが
必要となる。
そのときのみを考えて
5a²+25
5
と|α-2|を

岡山大学 2020年度 理系 過去問