Question

ゲス

(3)から(5)を教えて頂きたいです

すごくモヤモヤしているのでよろしくお願いします。

問題2.Cを複素数体とする. pを3以上の素数とし, wp ∈Cを1の原始p乗根とする. 行列
A,Bを
A=(°). B=(₁8)
(wp
3=(11)
-wp
により定める. GをA,Bにより生成される一般線型群 GL (2, C) の部分群とする. このとき、次の
問に答えよ.
(1) BA AB3 を示せ .
(2) A,B の位数をそれぞれ求めよ.
(3) G = {AiBi | i,j は0以上の整数} を示せ .
(4) H1をAにより生成されるGの部分群, H2をBにより生成されるGの部分群とする. この
とき, H10H2 = {E}を示せ.ただしEは単位行列である.
(5) Gの位数を求めよ.
=

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

(3)
GはAとBで生成される群だから、S={A,A^(-1),B,B^(-1)}とすると
G={s1s2s3s4...sn|n∊N,si∊S}
A^(2p)=1よりA^(-1)=A^(2p-1)
B^4=1 よりB^(-1)=B^3
よってS'={A,B}とすると
G={s1s2s3s4...sn|n∊N,si∊S'}
G'={A^i B^j|i,jは0以上の整数}とすると
G'⊂G　は明らか。よってG⊂G'を示す。
任意のGの元s1s2s3s4...snがA^iB^jの形になることを示せばいい。
nについての帰納法で示す。
n=1のときは自明。
あるnのときに成り立つとする。
n+1のとき
s1s2s3s4...sn s_(n+1)=A^iB^j s_(n+1)
(i)s_(n+1)=Bのとき A^iB^j s_(n+1)=A^iB^(j+1)
(ii)s_(n+1)=Aのとき
A^iB^j A
=A^iB^(j-1) BA
=A^iB^(j-1) AB^3 [(1)の結果を用いた]
=A^iB^(j-2) BAB^3
=A^iB^(j-2) AB^6
=...
=A^i A B^(3j)=A^(i+1) B^(3j)
これでn+1のときも示せた。

(4)
H1=<A>={E,A,A^2,...,A^(2p-1)}
H2=<B>={E,B,B^2,B^3}
H1∩H2の元を探す。
A^n=diag(ω^n,(-ω)^n)
だからまずH2の元で対角行列のものを探すと
E,B^2=-E
このうち-EはH1に含まれない;
ω^n=-1とするとω^(2n)=1ゆえ2nはpの倍数になるがpは3以上の素数なのでnがpの倍数になる。
このときω^n=1となるので矛盾。
よってH1∩H2={E}

(5)A^iB^j=A^kB^l
とすると
A^(i-k)=B^(l-i)
左辺はH1に含まれ右辺はH2に含まれるので、両辺はH1∩H2に含まれ、Eである。
よって
i-k=2pの倍数かつi-l=4の倍数
よってA^iB^jの形で相異なるものは
i=0,1,...,2p-1
j=0,1,2,3
で2p*4=8p

群論 生成系 有限群