ときの極
基本事項
D
基本例題 {r"} の極限(rの値で場合分け)
rn-1
2218 mn+1
よって
キー1 のとき, 極限 lim-
CHART
rk1のとき
よって
lim
→∞
r=1のとき
\r|>1 のとき
♪” を含む数列の極限
.72
{r"} が収束する, すなわち, r|<1 やr=1のときは, 与式のまま極限を考える
” の極限は,rの値により異なるから 場合分けして考える。
ことができる。
|r|>1 {r^*}
>1 のとき, (7) は収束しないが, 1/21 から (12) が収束することを利用
<1
する。基本例題 89 と同様に、分母・分子を”で割ってから極限を考える。
lim
n→∞
limr"=0
1218
OLUTION
xn-1_0-1
inn+1
nn-1
rn+1
0+1
r"=1. よって
||<1
=lim
n→∞
ゆえに
n
1- (-1) "
1+
n
を求めよ。
r=±1 が場合の分かれ目･････
=
-1
lim
nnn+1 1+1
lim
n→∞
(1)
1-0
1+0
n
=1
--
p.141 基本事項 基本 89
=0
=0
inf. r=-1 のとき, nが
奇数ならば r"=-1 であ
るから, (分母)=0 となり
rn-1
rn+1
が定義されない。
147
◆分母・分子をr” で割る。
INFORMATION” の極限
この例題からわかるように, " を含む式の極限は,r=±1 を場合の分かれ目として
場合分けして考えるのがポイントである。 また, r|>1 のとき, { r"} は収束しないが,
// 1)")
4章
10
数列の極限
次の条件によって定められる数列 (²) 極限を求めよ。
= (an+1+3a) (n=1,2,3, ......)
a=0, α2=1, an+2=
基本 92. 数学重要
CHART O
OLUTION
隣接3項間の漸化式では,まず, s+2 を x + を x α を 1 におき換えたx
まずは一般項 αをnで表し、 次にその極限を求める｡ ・・・・・･]
の2次方程式 (特性方程式) を解く。 その2解をα, βとすると
an+saa+ Blan+-aan)
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
an at
漸化式は α+20分+1=-
また
a: a₁=1-0=1
よって,数列{an-1 - 0} は初項1,公比-2 の等比数列であ
るから
ゆえに, n ≧2 のとき
- a₁ = (-3) -¹
(asian) と変形できる。
anti-an
=0+-
¹-(-3)
したがって liman=lim-
lim (1-(-3)* )= 4
[注意] この問題のように, 単に数列{an}の極限を求めるときは,
2のときだけを考えてかまわない。 つまり, n=1のときの確
認は必要ない。
別解 与えられた漸化式を変形して
an+2an+1=
-²(a₂+1-an), an+2+ +
₂2+ ²/² ₁+1=α
1=an+1+ 12/2324円
4an
925 -2-(-)" + 10 = a₁ +0₁=1
ゆえに
3
an+1 an
an=a2+
x=1/1 (x+3) を解くと
4x²=x+3
4x²-x-3=0
(x-1)(4x+3)=0
よってx=1, -1
a=1,=-2として
変形。
◆ 数列 {an}の階差数列
{bn} がわかれば nat
のとき an =qi+Zh
「極限を求める」 とは、
n→∞ の場合を考える
ことである。
2番目の式は,上の
CHART & SOLUTION
の式にa=1, B=1
97 図形に関する漸化式と極限
要 例題
図のような1辺の長さαの正三角形 ABCにおいて、頂点
Aから辺BCに下ろした垂線の足をP, とする。 P, から辺
ABに下ろした垂線の足を Q, Q, から辺CA への垂線の
足をRi, R, から辺BC への垂線の足をP2とする。このよ
うな操作を繰り返すと, 辺BC上に点P, P2, ......, P.
Q
・が定まる。 このとき, Pm の極限の位置を求めよ。
解答
BP=Xとする。
BQ,=/12BP=12x", AR,212AQ12/01/2)
- 1/²/(a− 1/2 x ₁ ) = 2 ² + + + + x n ₁
CRn=α-
CP... CR₂-(+1) ++
CP+1=
4
CHART O
OLUTION
図形と極限 n番目と(n+1) 番目の関係を調べて漸化式を作る ・・・・・・
BP=x として, BP +1 (すなわち x+1) を x で表す。 直角三角形の辺の比を利
使用して進める。
BP+1=BC-CP+1=a-
ゆえに Xn+1=-
よって,数列{ xn--1/320} は初項x-
a-
0
基本92. 数学基本110
8
変形すると Xn+1-
00000
Q=
1Q,
P.
重要 98
公比 - 12 の等比数列であり xn-²/3a=(−²)²¯`'(x₁—² 3a)
| 1²1²___x₂ = ( − 1)² = (x₁ - ²/3 a)+zza
XC
よって
lim x = a
71-00 3
したがって, Pm の極限の位置は辺BC を 2:1に内分する点である。
AR.
=-=a+²a ²a=
'P. P.+1
155
4歳
数列の極限
Thibe
EX
91
(ink<1のとき
lam
よって lim.
h→02
r=1のと言
よってl
h
rz1
