Question

めがね

ケからお願いします！

46
AさんとBさんの2人が数列の問題について話をしている。 次の会話文を読んで下の各問い
に答えよ。
Aさん: この前の授業で、次のような数列の問題を解くことになったんだ。
次のような数列がある。
2n-1 2n-2
n
******
ただし、分母が”である分数は (21) 個ある。
分母が8である項の最初から3番目の数を求めよ。 次に、この数列の第167 項
を求めよ。 さらに, 初項から第167 項までの和を求めよ。
この問題を解くのに. 数列の規則から 分母が8である項の最初から3番目まで書き上げ
て答えたんだけど 第167項までは、時間が足りなくて書ききれなかったよ。もちろん和
も求めることができなかったんだ。
Bさん: この問題の場合なら、 分母が同じ項をまとめて1つの群として考えればいいんじゃない。
つまり、第群には分母が"である数が (2n-1) 個あり,
1 と並んでいるんだ。
月
だから､書き上げなくても, 分母が8である項は第8群にあって、 第8群の最初の数の分
子は2×8−1 = 15 だからとわかるよ。
分子の数は1ずつ減っていくので、分母が8である項の最初から3番目の数は 12 となるよ。
Aさん:なるほど, じゃあ、 第20群の25番目の数を考えると, 分母の数はアで,第20群
には
8
25番目の分子の数は等差数列の考えを用いてウだね。
個の数があり、
でも,この数列の第167項を求めるのはどうするの。
Bさん 第167項が 第何群の数かを考えればいいんだよ。
でも,こうも考えられるよね。 第20群の最後の数は第20群の
番目の数で､前か
25番目の数は、 最後の数を1番, その手前の数を2番と数えると最後からエ番
だから, その数の分子の数はエ といえるね。
第k群には, (2k-1) 個の数があるんだから, 第1群から第n群の最後の数までは
ば、 第167 項が第何群の数かわかるよ。
167
1+3+5+ ······ + (2n-1)=オ(個)
の数があるよ。 つまり, 第群の最後の数は与えられた数列の第 項だよ。 だか
ら, 第167項が第群の数だとすると,167
を満たす最小の自然数nを求めれ
Aさん: そうか,第ヵ群の最後の数はキだから 第167項は
わかったけど,和はどうやって求めればいいのかな｡
を満たす最小の自然数nはカだから,第167項は第ヵ群の数だね。
だね。 第 167 項は
月日
Bさんこれも群でまとめて考えればいいんじゃないかな。 つまり、第群の数の和を、最後の
数から書くと
だよね。
Aさん:群ごとの和を使うのか。
k
わかったよ。この場合なら、 第群の最後の数までの和はだから、初項から
第167項までの和は, だね。
この会話から数日後、AさんがBさんに話をしています。
AさんB さん, 群を用いて考える同じような問題を考えたよ。
数列
1, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 1.
がある。
(i) 8回目に現れる1は第何項か。
(日) 初項から8回目に現れる1までの項の和を求めよ。
(i) この数列の第2020項を求めよ。
この問題も同じように解けるね。
ア
■エに適する数を求めよ。
には,nを用いた式を求めよ。
~
に適する数を求めよ。
ケには, を用いた式を求めよ。
(1)
(2)
(3) カ
(4)
(5)
(6) 下線部の問題 (i) を解け。
(7) 下線部の問題 (i) を解け。
(8) 下線部の問題(話)を解け。
Pu. 20.
Ju a
サに適する数を求めよ。
2.20-25
20
2.20 - (- 34
225.
(10 79 17 ~ 15
・13・11/17 グ
15.
29
(8)
120-1
uz/17
c=17 15-164
2.13-1=

-)
46
(1) ア
(2)
M
20
エ 15
第20群の項数は 2×20-1=39 だから39個
初項39, 公差 -1の等差数列の第25項だから
39+(25-1)・(-1)=15
よって, 分子の数は 15
最後の数は, 39番目。
これを1番とするのだから最後の手前の数は,38
番目で2番となる。
2k-1
イ
よって, 25番目の数は最後から15番となる。
最後の数の分子は1で, 手前になるにしたがって
1ずつ増えるので,分子の数と一致する。
よって, 分子の数は15
オ
n²
1+3+5+ ····+(2n-1)=
1 2
+
h
39
1
3
(3)
カ 13
13
13
167 n” を満たす最小の自然数nを求める。
n=12 のときn²=144
n=13のときn²169
キ
(1+2
1.2k-1
k 2
2k-1
k
+2+..+ (2k-1)}
ウ 15
n" の値は,nの値が大きくなるにつれ大きくな
るので､求めるnはn=13
第167項は,第13群の最後から3番目の数だか
3
ら
13
ただし、分母がれて
分母
=1/(1+(n-1)}
= n²
ク
-{1+(2k-1)}=2k-1
3' 3' 3' 3''
であるな
169
サラ
=
(2k-1)=2 k-1=n(n+1)=n=n²
よって、 第13群の最後の数までの和は132169
第13群の最後の数は, 132169 だから第169
項である。
第167項は,最後の数から3番目の数だから, 初
項から第167項までの和は
2194
13
169 - (+) - 2194
-
13
(6X7X8)
第n群には第n回目に現れる1から, 次の1の
手前の数までが入るような群を考える。
つまり, 第n群には、1から順に (2n-1) 個の奇数
がある。
ゆえに,第50項
(7) 第群の数の和は
1
11,3,51,3,5,7,91,3,5,7,9, 11, 13 ······
(6) 8回目に現れる1は, 第8群の最初の数である。
第7群には, 2×7-1=13(個)の数があるので
1+3+...... +13+1 = =(1+13)+1=50
1+3+......+{2 (2k-1)-1}
2k¹(1+(4k-3)) = (2k-1) ²
よって, 初項から8回目に現れるまでの和は
(2k-1)²+1=42²-42k+1+1
-
・7・8・15-4.7・8
6
27.860-12)+8
7.8.48-
･・ 48+8
7･8・8+8=456
+7+1
(8) 第2020 項が第n群の数とすると,第n群の最
後の数までの項数は
1+3+..+(n-1)=1/(1+(2n-1)}=n²
2020 ≦nを満たす最小の自然数nを求める。
n=44 のときn²=1936
n=45 のとき ²2025
n" の値は,nの値が大きくなるにつれて大き
くなるので 求めるnはn=45
よって, 第2020 項は、 第45群の数である。
第45群の最後の数は、 第2025項で
2×(2×45-1)-1177
よって, 第2020 項は,最後の数から6番目の数
である。
したがって、 等差数列の考え方を用いて
177+(6−1)(−2)=167
以上より 求める数は 167
(別解) (9行目から続く)
第45群の最初の数は, 44 +1=1937 だから,
第1937項で1である。
よって 第2020 項は、 第45群の最初から 84番
目の数である。
以上より 求める数は 2×84-1167