Question

Ryuka

数１の背理法の証明の問題です
一つ目のマーカーのところは文字を自然数としているのに、二つ目のマーカーのところでは文字を整数とするのはなぜですか？
教えていただきたいです！
よろしくお願いします🙇

例題 54
背理法による証明 [1]
(1) √2は無理数であることを証明せよ。 火
(2) (1) を利用して, √2+2が無理数であることを証明せよ。
思考プロセス
無理数であることを一般的に式で表すことはできないから, 証明しにくい。
Action » 無理数であることの証明は, 有理数と仮定して矛盾を導け
目標の言い換え矛盾を導くことを目標とする。
「√2は無理数でない」
と仮定
矛
(2) 「√2が無理数 √2+2 が無理数」 を示すと考える。
(1)
解 (1) √2が有理数であると仮定すると
m
292
=
[頻出]
★★☆☆
$130= Sho+0² (1)
「√2は無理数でない」
という仮定が誤り
こない) → 「√2は無理数である」
NE
「無理数である」の否定は
「無理数でない」 すなわち
(mとnは互いに素な自然数) とおける。 「有理数である」となる。
n
2つの自然数m,nが1
両辺を2乗して分母をはらうと 2n² = m²
･①
以外に公約数をもたない
とき、mとnは互いに素
nは整数であるから, m² は2の倍数である。
よって
であるという。
は2の倍数となる。
例題 53 (1) 参照。
m=2k(kは整数)とおくと, ① より
2n² = (2k)2
n² = 2k²
(S)
すなわち
k2 は整数であるから, n2は2の倍数である。
よって
は2の倍数となる。
ゆえに,m,nはともに2の倍数となり, 互いに素であ
ることに矛盾する。
Tes
したがって,√2は無理数である。 S
Fo
mnはともに2を約数に
もつから、mとnが互い
に素であることに反する。
:S)+(S\ + I) (S)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Apple

m、nは公理（？）でkは説明のために置いた文字です。後者は範囲を狭めると適用範囲も狭くなるので自然数ではなく整数としています。
確かにmは自然数なのでkは自然数ですが、整数でも良いですよね？kを自然数とかいたら、「mが自然数だから」とか、のちにkの自然数要素を使わないのに、論説する必要が出てきます。
なんで整数の2文字で必要十分だからだと思います。

Ryuka

ありがとうございます💓