Question

きりん

赤枠の式変形がどうなってるのかよくわかりません。
教えていただきたいです！よろしくお願いします

指針 (1) 大小比較は差を作
として証明に利用する。
(2) (1)と同じように大小比較をしてもよいが (1)
そこで、似た問題は結果を利用の方針でいく。
(3)
本問では, (2) を証明するために, (2) の簡単な場合の設問 (1) がある。すなわち、()が
ヒントになっているともいえる。
(1) azb, x≧y であるから
2(ax+by)-(a+b)(x+y)
=ax+by-ay-bx=a(x-y)-b(x-y)
よって
2(ax+by)=(a+b)(x+y)
(2) (1) と同様にして、abcxyz であるから
b²c, y2zt³5 2(by+cz) ≥(b+c)(y+z)
azc, xzzb5 2(ax+cz)=(a+c)(x+z)
① ② ③の辺々を加えて
2(ax+by)+2(bv+cz) + 2(x+cz)
≥(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(a+c)(x+z)
よって
=(a−b)(x-y)≥0
すなわち
......
=(a+b)(x+y)+b(y+z)+c(y+z)+a(x+2)+c(x+z)
=(a+b)(x+y)+(a+b)z+c(x+y+z)+(ax+by+cz)
=(a+b)(x+y+z)+c(x+y+z)+(ax+by+cz)
=(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz)
......
4(ax+by+cz)²(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz)
練習 (1) 次の不等式を証明せよ。
30
(a+b+c)(x+y+z) ≤3(ax+by+cz)
3
(7) a²+b²+c² ≥ab+bc+ca
(2) 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
x
() x≧0、y≧0,220のとき +
1+x
x+y
(ア) x≧0、y≧0のときx+ity itxty
y
1+y
・+
で形は
(右辺) (左辺)≧0を
◄a-b≥0, x-y²0
等号は a = b または
のとき成立。
(2) (右辺) (左辺)
いくと, 差は
(1) a+b+c¹≥abc(a+b
(a-b) (x-y)
+(b-c)(y-2)
+(c-a)(z-x)
と変形でき
注意
(2) の不等式につい
｢α = b または x=
「b=c またはy=
c=aまたはz=
等号が成り立つ
a=b=cまたは
等号の成立条件
2
1+2
N
x+y+
1+x+y

不等式の証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

通りすがり@300BA獲得

これは初見ではかなり難しいと思います。
(a+b+c)(x+y+z)を作ることと、ax+by+czを作ることを意識して式変形します。
・１行目から２行目は、(a+b)(x+y)を残して、残りを分配法則で展開しています。
・2行目から3行目は、(a+b)(x+y)から(a+b)(x+y+z)を作ることを意識して(a+b)zを作り、また、ax+by+czを因数分解しないように右によけています。残りcでくくれるのでまとめています。
・3行目から4行目は、(a+b)(x+y+z)を作っています。
・4行目から5行目は、(a+b+c)(x+y+z)を作っています。