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11.
(反射律)Xを集合族Aに属する任意の集合とする.
XからXへの恒等写像は全単射であるから, XとXは対等である. よってX〜Xが成り立つ.
(対称律)X, Yを集合族Aに属する任意の集合とし, X〜Yとする.
このときXとYは対等であるから, XからYへの全単射f:X→Yが存在する.
全単射なので逆写像f^{-1}が存在し, この逆写像f^{-1} : Y → XはYからXへの全単射になっている.
よってYとXは対等であり, Y〜Xが成り立つ.
(推移律)X, Y, Zを集合族Aに属する任意の集合とし, X〜Y, Y〜Zとする.
このときXとY, YとZはそれぞれ対等であるから, 全単射f:X→Y, g:Y→Zが存在する.
すると, 合成写像g∘f:X→Z はXからZへの全単射となる.
よってXとZは対等であり, X〜Zが成り立つ.
以上より, 〜は集合族A上の同値関係である.

12.
N={1, 2, 3, ...}を自然数の集合とする.
NからZ+への写像f: N → Z+ を,
f(n) = n-1 (n∈N)
で定義すると, これは全単射になっている.
実際, 単射であることは, m, n∈Nに対して
f(m)=f(n) ⇒ m-1 = n-1 ⇒ m=n
となることからわかる.
また, 全射であることも, 任意のy∈Z+ に対してy+1∈Nであり,
f(y+1) = (y+1)-1 = y
となることから分かる.
fはNからZ+への全単射ゆえ, NとZ+は対等である. つまり, Z+は可算集合である.

こんな感じかと思います.

とっても丁寧に教えていただきありがとうございます!😭✨

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