Question

ここ

(2)についてです。
どうして答えは共通範囲なのでしょうか？？
-2＜m＜0
ではだめな理由を教えていただきたいです。

166
すべての実数に対して2次不等式が成り立つ条件 (絶対不等式)
発展例題 103 *
基礎例題 94
基礎例題 96
mの値
(1) センター試
すべての実数xについて、次の2次不等式が成り立つような定数
範囲を求めよ｡
(2) mx²+4x-2<0
(1) x² +mx+3m-5>0
CHART
「常に ax+bx+c> 0 が成り立つa> かつD<
常に ax+bx+c< 0 が成り立つ a<0 かつ D<0
「すべての実数xについて、2次不等式 ax²+bx+c>0 が成り立つ」とは、
「2次関数y=ax+bx+c のグラフが常にx軸より上側にある」ということ
→
<0 の場合も、同様に考えて 「グラフが常にx軸より下側にある｣
グラフは上に凸(a<!) で, x軸と共有点がない ( D < 0)
GUIDE
x軸と共有点がない (D<0)
グラフは下に凸(②①)で,
解答
(1) y=x²+mx+3m-5 ① とする。
²の係数は正であるから、①のグラフは下に凸の放物線であ
る。 すべての実数xについて, 不等式 x2+mx+3m-5>0
が成り立つための条件は、 ①のグラフが常にx軸より上側に
あることである。
ゆえに、2次方程式x+mx+3m-50 の判別式をDとす
ると
D<0
ここで
D=m²-4・1・(3m-5)=m²-12m+20
よって
したがって
イコールないから浮いてる
(2)y=mx²+4x-2
② とする。 ○より下にいないとだめ
すべての実数xについて,不等式 mx²+4x-2<0 が成り立
つための条件は、②のグラフが常にx軸より下側にあること
である。ゆえに,2次方程式 mx²+4x-2=0 の判別式をD
とすると
m<0 かつ D<0
D=4-4.m.(-2)=8m+16 であるから
これを解いて
<-2
これと m<0 の共通範囲を求めて
=(m-2)(m-10)
(m-2)(m-10) <0
2<m<10
8m+16<0
m<-2
\①
+
(1) では (x2の係数) >
が初めから成り立って
いる。
2
PD
10
注意 問題文に「2
「式」 とあるから,ma
ある。
EX 96 次の2次不等式が、常に成り立つような定数mの値の範囲を
(1) x²+2(m+1)x+2(m²-1)>0
(2) mx²+3mx+m-1<0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さい先生

同時に満たさないといけないmの範囲が複数あるためです。
題意から、y=(左辺)の2次関数のグラフは上に凸で、x軸よりも下に位置しないといけません。
その時点で、まずmの値が0より小さいことが条件にあげられます。
加えて、判別式がD<0である条件が必要となります。
これら二つの条件が同時に満たされるmの値の範囲を求めることになるのです。

ちなみに、判別式からは、m<-2となりますから、どう頑張っても-2<m<0にはなりませんよ。