数学
高校生
解決済み

(2)についてです。
どうして答えは共通範囲なのでしょうか??
-2<m<0
ではだめな理由を教えていただきたいです。

166 すべての実数に対して2次不等式が成り立つ条件 (絶対不等式) 発展例題 103 * 基礎例題 94 基礎例題 96 mの値 (1) センター試 すべての実数xについて、次の2次不等式が成り立つような定数 範囲を求めよ。 (2) mx²+4x-2<0 (1) x² +mx+3m-5>0 CHART 「常に ax+bx+c> 0 が成り立つa> かつD< 常に ax+bx+c< 0 が成り立つ a<0 かつ D<0 「すべての実数xについて、2次不等式 ax²+bx+c>0 が成り立つ」とは、 「2次関数y=ax+bx+c のグラフが常にx軸より上側にある」ということ → <0 の場合も、同様に考えて 「グラフが常にx軸より下側にある」 グラフは上に凸(a<!) で, x軸と共有点がない ( D < 0) GUIDE x軸と共有点がない (D<0) グラフは下に凸(②①)で, 解答 (1) y=x²+mx+3m-5 ① とする。 ²の係数は正であるから、①のグラフは下に凸の放物線であ る。 すべての実数xについて, 不等式 x2+mx+3m-5>0 が成り立つための条件は、 ①のグラフが常にx軸より上側に あることである。 ゆえに、2次方程式x+mx+3m-50 の判別式をDとす ると D<0 ここで D=m²-4・1・(3m-5)=m²-12m+20 よって したがって イコールないから浮いてる (2)y=mx²+4x-2 ② とする。 ○より下にいないとだめ すべての実数xについて,不等式 mx²+4x-2<0 が成り立 つための条件は、②のグラフが常にx軸より下側にあること である。ゆえに,2次方程式 mx²+4x-2=0 の判別式をD とすると m<0 かつ D<0 D=4-4.m.(-2)=8m+16 であるから これを解いて <-2 これと m<0 の共通範囲を求めて =(m-2)(m-10) (m-2)(m-10) <0 2<m<10 8m+16<0 m<-2 \① + (1) では (x2の係数) > が初めから成り立って いる。 2 PD 10 注意 問題文に「2 「式」 とあるから,ma ある。 EX 96 次の2次不等式が、常に成り立つような定数mの値の範囲を (1) x²+2(m+1)x+2(m²-1)>0 (2) mx²+3mx+m-1<0

回答

✨ ベストアンサー ✨

同時に満たさないといけないmの範囲が複数あるためです。
題意から、y=(左辺)の2次関数のグラフは上に凸で、x軸よりも下に位置しないといけません。
その時点で、まずmの値が0より小さいことが条件にあげられます。
加えて、判別式がD<0である条件が必要となります。
これら二つの条件が同時に満たされるmの値の範囲を求めることになるのです。

ちなみに、判別式からは、m<-2となりますから、どう頑張っても-2<m<0にはなりませんよ。

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