Question

ゲス

(1)と(3)を教えてください。デルタ関数の類似問題と思われます。

n は正整数とする. R上の関数n を
In(x) =
(n (re[0_1/n])
(0 ( [0,1/n])
と定める.またfは上の連続関数とし, R上の関数 f を
fn(x) = *ª*_*ƒ(t) gn(x − t) dt
と定める. 以下の問に答えよ.
(1) 各n に対しては連続関数であることを示せ .
(2) 各re に対して lim fn(x)=f(z) を示せ .
(3) (2) で示した収束は一様収束か否かを判定せよ。 一様収束であるならばその証
明を与え,一様収束でないならば反例をあげ､ それが反例になっていることを
示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

crane

(1) lim[x→a] f_n (x)
　= lim[x→a] ∫[-∞, ∞] f(t) g_n(x-t) dt
　= ∫[-∞, ∞] lim[x→a] f(t)g_n(x-t) dt　　（※１）
　= ∫[-∞, ∞] f(t)g_n(a-t) dt　（※２）
　= f_n(a)
より連続。
（※１　被積分関数がaに近いところを除いて外側は0なので、aを含むある有界閉区間上に制限して考えてよく、このときルベーグの収束定理（連続版）により極限を交換できる。）
（※２　g_n(x)は2点を除き連続、つまり、ほとんど至るところ連続）

(3)　一様収束でない。f(x) = e^xが反例となっていることを示そう。

f(x) = exp(x)　（e^xのことをexp(x)と書く）であるとき、
　　f_n(x)-f(x)
　= ∫[-∞, ∞] exp(t) g_n(x-t) dt
　= ∫[x -1/n, x] n exp(t) dt - exp(x)
　= n･exp(x)･(1- exp(-1/n) -1/n)
だから、任意の自然数nに対して、十分xを大きく取れば|f_n(x)-f(x)|≧1とできる。
以上よりf(x)=e^xは反例となっている。

おそらくこんな感じではないかと思います。違ってたらすみません。

ゲス

悩んでたところが解決出来ました。ありがとうございます。