Question

寧々

数列(3)青線部分について質問です。
①なぜanを偶数と奇数に分けて考えるのか
②∑akbk=⑦の変形の過程
以上の2点について教えていただきたいです。
よろしくお願いします🙇‍♀️

ちなみにbnは初項4、公比1/2の等比数列です。

(-1)-1/12 である。
また,数列{bn} は公比が正の等比数列であり, bi+b2=6, 26,=8 を満たしている。
数列{an}の初項から第n項までの和を S とするとき, Sn=2n+
(1) a1,a2,a3 をそれぞれ求めよ。
(2) 6m n を用いて表せ。
8
n=1
2n
(3) annを用いて表せ。 また, Tn=2akbk (n=1,2,3,...... とするとき, lim Tn
k=
848
を求めよ。

(1) より
a=S=1
n≧2のとき
an=Sn-S-1
= {2n + (-1)"}-{2(n-1) + (-2) ¹-2
= 2+
=2-(-1)^-1=2+(-1)"
⑤ より ⑥ は n=1のときも成り立つ。
よって
これより
(−1)”
an=2+(-1)"
(-1)"-'{(-1)-1}
2
であるから
a2k-1=1,a2k=3(k=1,2,3, ......)
2n
T₁=2akbk
と変形できる。
= (b1+bg+.... +bzn-1) +3(by +64+ ...... +62m)
bı+ b;+………+bzn-1 は初項が4,公比が 1 項数nの等比数列の和で
あるから
61+6 +......+b2n-1
b+b+...... +62m
by + ba +……+bz, は初項が2,公比が 1 項数nの等比数列の和であ
るから
よって, ⑦より
T. = 2a.bk
k=1
4{1-(4)"}
1-1
16
- ¹6 (1-(4)"}
=
2{1-(1)^}
1-1
= {¹-(4+)"}
= 40 (1-(4)}
3
16
- 1 (1 - ( 4 ) } + 8 + $ { ¹ -(+) }
3.
3

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

代入して整理すればいいです。

∑aₖbₖ
=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+a₄b₄+⋯+a₂ₙb₂ₙ
={2+(-1)¹}b₁+{2+(-1)²}b₂+⋯+{2+(-1)²ⁿ}b₂ₙ
=1∙b₁+3∙b₂+1∙b₃+3∙b₄+⋯+3∙b₂ₙ
=b₁+3b₂+b₃+3b₄+b₅+3b₆+⋯+b₂ₙ₋₁+3b₂ₙ
=(b₁+b₃+b₅+⋯+b₂ₙ₋₁)+(3b₂+3b₄+3b₆+⋯+3b₂ₙ)
=(b₁+b₃+⋯+b₂ₙ₋₁)+3(b₂+b₄+⋯+b₂ₙ)

寧々

回答ありがとうございます！
計算過程を詳しく書いてくださってとてもわかりやすいです。助かりました🙇‍♀️

寧々

確かにk＝1.2.3.4…と代入してみると理解しやすいですね。これから困った時やってみます💪

寒

困ったときは基本に立ち返ると案外簡単にできることがありますね。
基本の定義というのは忘れがちなのですが、ときどき使うことがあるんです。

寧々

そうですよね。微分の定義とかは応用問題でもよく出てくると感じます。
教えてくださってありがとうございました☺️