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1問目
導関数dy/dtの代わりにy' などと書くことにします。
yy'' + (y')^2 +1 =0
ここで、
(yy')' = yy'' + (y')^2
であることから、
(yy')' = -1
yy' = -x + A
です。さらに、
(y^2)' = 2yy'
であるから、
(y^2)' = -2x + 2A
y^2 = -x^2 + 2Ax +B
2AおよびBをC1およびC2とおけば求める解を得ます。

2問目
y=A cos t + B sin t (A, Bは定数)
とおいて(目星をつけて)代入して計算すると、
-2A sin t + 2B cos t = 2 cos t
となります。これより A=0, B=1、つまり、
y = sin t とすれば、与えられた方程式を満たします。
y = sin t が特解(の一つ)です。

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