Question

Clearnoteユーザー

解説お願いします

次の微分方程式の｢一般解」 を求めなさい
d² y dy
+
y.
dr² dt
2
+1=0

次の微分方程式の「特解」を求めなさい
d² y
+2g
2
dt² dt
+ y = 2 cost

大学数学 微分方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

crane

１問目
導関数dy/dtの代わりにy' などと書くことにします。
yy'' + (y')^2 +1 =0
ここで、
(yy')' = yy'' + (y')^2
であることから、
(yy')' = -1
yy' = -x + A
です。さらに、
(y^2)' = 2yy'
であるから、
(y^2)' = -2x + 2A
y^2 = -x^2 + 2Ax +B
2AおよびBをC1およびC2とおけば求める解を得ます。

２問目
y=A cos t + B sin t　（A, Bは定数）
とおいて（目星をつけて）代入して計算すると、
-2A sin t + 2B cos t = 2 cos t
となります。これより A=0, B=1、つまり、
y = sin t とすれば、与えられた方程式を満たします。
y = sin t が特解（の一つ）です。

Clearnoteユーザー

わかりました！ありがとうございます！