Question

Ha_tig

この問題の（２）が解説を読んでもあまり理解できなかったので教えてください。お願いします。

102 放物線の弦の中点の軌跡
重要 例題
20①000①
直線y=mx が放物線y=x+1と異なる2点PQで交わるとする。
のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 線分PQの中点 M の軌跡を求めよ。
[改 星薬大 ]
基本100
つ

①, y=x2+1
(1) y=mx
①,②からyを消去すると
mx=x2+1 すなわち x2-mx+1=0
(2) 2点P, Qのx座標をそれぞ
れa, βとすると, α, βは③の
異なる2つの実数解であるから,
解と係数の関係により a+β=m
したがって, 線分PQの中点 M
の座標を(x, y) とすると
(a+β)_m
③の判別式をDとすると D=(-m)²-4=(m+2)(−2)
直線①と放物線 ② が異なる2点で交わるための条件は
D>0
x=-
② とする。
したがって 求めるmの値の範囲は m<-22<m... ④
YA
APRACTI
y=mx
2
25
上の2式から m を消去して
......
y=2x2
④より " <-1,1<" であるから
2
2
P
よって求める軌跡は
放物線y=2x2x<-1,1<xの部分
M
3
1
a
a+β
2
x<-1, 1<x
x
直線 ① と放物線 ② が異
なる2点で交わるとき,
2次方程式 ③ は異なる
2つの実数解をもつ。
■点Mは直線 ① 上の点。
↓
13
m=2x を ④ に代入し
て 2x<-22<2x
よって x<-1, 1<x
と考えてもよい。
放物線
軌跡と方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

社会人数検準1級取得者

求める中点の軌跡を(x，y)とおきます。
中点のy座標はy＝mxとなる。　
中点のx座標をmで表してy座標に代入すると
軌跡の方程式がもとまる。
直線と放物線の2交点のx座標をα，βとする。
直線y＝mⅹを放物線y＝x²＋1に代入すると
2次方程式
x²ーmx＋1＝0
の解がα，βとなるから
α＋β＝mとなる。
中点のx座標は
x＝(α＋β)／2＝m／2ー①
これを中点のy座標は
y＝mxー②
①②からmを消去すると軌跡がもとまる。
α＋β＝mが成り立つ理由は
画像を参考にしてみて下さい。
疑問な箇所があれば聞いて下さい。

Ha_tig

なるほど！やはり少し難しいですね💦
ありがとうございます！