Question

k.k

別解の「ゆえに、」のあとに書いてある赤い点線のところが分かりません。なぜ余りが等しくなるんですか？

基本 例題 54 剰余の定理利用による余りの問題 (2)
整式 P(x) を x+1で割ると余りが -2, x2-3x+2で割ると余りが-3x+7であ
るという。このとき,P(x) を(x+1)(x-1)(x-2) で割った余りを求めよ。
SAT
基本53
重要 55
28
指針 例題 53 と同様に、割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
JUTU
覚
3次式で割ったときの余りは2次以下であるから,R=ax²+bx+c とおける｡
問題の条件から,このα, b,cの値を決定しようと考える。
別解] 前ページの 別解 のように, 文字を減らす方針。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2
割ったときの余りを、 更に x2-3x + 2 すなわち (x-1)(x-2) で割った余りを考える。
解答
あ
P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x), 余り
を ax2+bx+cとすると、次の等式が成り立
P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax2+bx+c ...... ①
13 次式で割った余りは, 2
次以下の整式または定数。
* CUIS

別解 [上の解答の等式 ① までは同じ ]
x2-3x+2=(x-1)(x-2)
であるから,
(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)はx2-3x+2で割り切れる。工
ゆえに, P(x) を x 2-3x+2で割ったときの余りは,
ax2+bx+c をx2-3x+2で割ったときの余りと等しい。 (*)
P(x) をx2-3x+2で割ると余りは-3x+7であるから
ax²+bx+c=a(x2-3x+2)-3x+7) ロー
よって, 等式 ① は, 次のように表される。
! P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+α(x2-3x+2)-3x+7
したがってPP(−1)=6a+10 れと
P(x) を x+1で割ると余りは−2であるから P(-1)=-2
ゆえに 6a+10=-2
よって
a=-2
求める余りは-2(x2-3x+2) -3x+7=-2x²+3x+3

複素数 剰余の定理