Question

とーふ

数Ⅲの積分についてです。
PS=aとなってるんですが、どこから導いたものでしょうか？

384 <立体の体積> 底面の半径が2a,高さがαの直円柱がある。この直円
柱の上面の円周上の1点を通り,底面と 45°の傾きをなす平面でこの直
円柱を2つの部分に分けるとき, 小さい方の部分の体積V を求めよ。

384 ガイド 底面の中心を原点とし、底面と45°の傾きをなす平面が底面と交わる直線 AB に平行
な直線を軸にとり,体積を考える。
底面の中心を原点とし、底面と45°の傾きをなす平面が
底面と交わる直線AB に平行な直線をx軸にとる。
x軸上の座標xの点Sを通り, x軸に垂直な平面で切った
切り口の図形は、 右の図のようにPR=RQの直角二等辺
三角形 PQR である。
△ORS において, OR=2a, OS=|x|より RS=√4²-x2
PS=αであるから PR=RS-PS=√4a²-x2-a
点Aのx座標は
点Bのx座標は34 であるから
3α
1
√3a
v=S√³ / (√4a²-x² − a)²dx = f*³ª (5a²— x²—2a√ 4a²— x² ) dx
V=
√3a2
10
-
0
よって -2af4²-xdx=-2af2acos0・2acosede
ここで
√³ (5a²-x²) dx = [5a²x
√3 a
2a4a²-xdx において,x=2asin0 とおくとdx=2acos0df
/3a
x= [5a²x - ²1²x³05² = 4√3a²³
Jo
==
3
-8a³+1+cos 20
0
==
-4a³
1+ cos 20 d0=-4c²[0+ sin 201
1
2
2
π √3
3
4
+
π
π √3
したがって V-4/36-40 (+1)=(3/8/1/2)^
V=4√3 a³-4a³
3√3
4
4
A
a²
S
45°
Px
0
0
R
0
|被積分関数f(x) は
f(x)=f(-x) を満
たすので,偶関数で
ある｡
13
13
√3 a
2a B
→
x
√3 a
CO/H

cc e co o cOCOG
S
za
Q
R
145² HR
P
S
A
20
O
20
O
Q
R
4a²-x²
24
R
B
90
1
Y
145
11
b
R

数ⅲ 積分 立体の体積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

もしかしたら違う方法があるかもしれないんですけど、いつも自分がやってる方法で簡単に説明させてもらうと
x=0におけるyz平面で考えます。
45°をなす直線の傾きmはm=tanθ=1
したがって、点(2a,a)を通る直線は
z = y-a
なのでz=0となるのはy=a
と簡単に求められるのでSP = a と計算できます。

わかりにくかったらすいません

とーふ

その方法があったんですか……！！
分かりやすいです！ありがとうございます！！