まず前提として、sinというのは単位上の点のy座標、cosは単位円上の点のx座標のことです。
つまり、sin(θ+π/2)は単位円上で角度がθ+π/2になる点のy座標、cosθは単位円上で角度がθになる点のx座標です。それぞれy座標、x座標を見るとこの2つは等しいことがわかるので、sin(θ+π/2)= cosθとなります。
同様に、cos(θ+π/2)は単位円上で角度がθ+π/2になる点のx座標、sinθは単位円上で角度がθになる点のy座標です。それぞれx座標、y座標を見るとこの2つは大きさは等しいものの、符号が異なるため、cos(θ+π/2)=-sinθとなります。