Question

きょん

共役勾配法で
⟨Api, pj⟩ = 0 (i ≠ j)
が成り立つ時，pi と pj は行列 A に関して共役

↑の時、
p0, p1, . . . , pn−1 は互いに，pi ≠ 0 (0 ≤ i ≤ n − 1)で
線形独立(一次独立)であるのはなぜでしょうか...

証明してくれる方いましたらお願いします！

共役勾配法 cg法 計算数学 統計学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

命題に誤りがあります。正しくは、

対称正定値行列Aとpi ≠ 0 (0 ≤ i ≤ n − 1)に
⟨Api, pj⟩ = 0 (i ≠ j)
が成り立つとき
p0, p1, . . . , pn−1は一次独立である

[証明]
a0p0+a1p1+...+a_(n-1) p_(n-1)=0
とするとき、左からAをかけて続けて左からpi^Tをかけると(ほとんどの項が内積0で消えて)
ai ⟨ A pi, pi⟩=0
ここで ⟨ A pi, pi⟩=0と仮定するとAは正定値行列だから
pi=0となるが、これは仮定に反するから ⟨ A pi, pi⟩≠0　よって
ai=0
これがi=0,1,2,...,n-1で成り立つから一次独立である。

[メモ]
⟨Api, pj⟩ = 0 (i ≠ j)とは正定値行列Aで定められた内積(標準内積ではない)において、piたちが直交していることを表しています。だからそれらは一次独立となります。
https://shakayami-math.hatenablog.com/entry/2019/12/29/174432

正定値行列 内積

きょん

ありがとうございます！！！