数学
高校生
解決済み

添付写真下部の波線を引いた箇所についてです。
その部分の積分の求め方が分からなくなってしまったのでわかる方、ご教授お願いします🙇‍♂️

432 重要 例題 262 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 媒介変数tによって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin 2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 指針 曲線の概形をみると, xの1つの値に対してyの値が2つ定まる部分がある (解答の図の 1≦x<12/2 の部分)。 これは,前ページの基本例題261 の題材のように、もの変化につれて xが常に増加(または常に減少) というわけではないためである。 →xの値の変化を調べて,xの増加・減少が変わるもの値を求め、0≦t≦もにおける♪ 解答 図から, 0≦t≦πでは常に y≥0 また, y=2sint (1-cost) であるから, y=0 とすると sint=0 または cost=1 0≦t≦rから t=0, n) 更に =-2sint+2sin2t=2sint(2cost-1) dx dt 0<t<re dx = 0 とすると, cost= 11/1/3から dt よって, xの値の増減は右上の表のようになる。 TC π 図ゆえに, osts / におけるyy, Atsにおける 3 y t= dx dt -3 sint 2 sint cost+ 基本 261 yをxとすると dx S=S²³₁₂ v₁dx-S₁² y ₁ dx = S ₁3 y de -3 =Syardto=S(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)dt S = -3 =2S(2sint-sin2t) (sint-sin2t)dt =2S(2sin't-3sintsin2t+ sin²2t)dt =25.2.1-cos2t 2 3 = 25" (1²/²/2 --cos 2t-cos 4t-6: TC -dt -cos 4t-6sin't cost dt cost)dt π 3 =211231-1/23 sin2t-1/23 sin4t-2sin=3 8 1-cos 4t 2 t 0 dx dt x 1 34t)dt + t=π -3 π 3 0 y2 2 22 S : - YA x 73/2 R また -S=So TC t=0 -3 重 方 T 1/3 yi 13-2 (1) (2 指 x Sf-s. =S+S=S° =-2(sint-sin2t)

回答

✨ ベストアンサー ✨

ここだけ抜け出して不定積分で考えると
-6∫sin^2tcostdt
sint=xとおくと costdt=dx
(与式)=-6∫x^2dx=-2x^3+C
=-2sin^3t

なずな

文字で置き換える考え、完全に抜け落ちてました。
教えて下さりありがとうございました🥰

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回答

∫f(g(X))g´(X)dx=F(g(X))+C
ここでは、f(g(X))=sin²X、g´(X)=cosX
と見立てて、いちいち置換せずに1発で積分するものです。
∫sin²XcosXdx=∫sin²X(sinX)´dx=1/3sin³X+C

なずな

お返事遅くなってすみません。ご回答ありがとうございます🙇‍♂️
微分見えていませんでした、、、より早くできるように練習頑張ります。
ありがとうございました🥰

ましゅまろ☆

合成関数の微分の逆の操作ですので
慣れたらすぐにできるようになります。
試しに今回の結果を微分してみると
インテグラルの中身になることを確認して、もう一度積分し直してみると当たり前の過程を行ってることに気がつくと思います。
微分接触型の積分
で検索してみると様々な例が出てきますので、確認してみてください!

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