Question

ぺち

下の方の青で囲ったところは、なぜxで表さずyとしているのですか？

■重積分...積分領域が変数に依存する場合
○ 右図1のような立体 [分かりやすくするために階段
状に表示しているが, 実際は滑らかな局面で囲まれて
いるものとする] の体積 (縦棒の体積の総和)は,面
積要素 ds=dxdy に高さz=f(x,y) を掛けて得られる体積
要素
dV=f(x,y)ds=f(x,y)dxdy
の総和として, 定義域D上の重積分
JSpf(x,y)dxdy
で求めることができます.
of(x,y) が連続関数で,各変数の定義域が α≦x≦b,
asysであるとき､この重積分は
cb
[ { [ f(x, y)dx } dy ...(1)
a
[ { [ f(x, y)dy } dx...(2)
のように, 1変数の積分の繰り返しによって行うこと
ができます.
(1) は右図2のように, まず変数yを固定して,各々
のyについて,xで積分し(図で示した壁の面積S(y)
を求めて),次にy の関数として表されたその面積を
y で積分することによって体積を求めることに対応し
ています｡
(2)は図3のように,初めに x を固定してyで積分
し, 図で示した壁の面積S(x) を求めて、次にxで積分
するものです。
-1
○変数の定義域が 0≦x≦1,0≦y≦xのよ
うに他の変数に依存しているときは
T! { [ f(x, y)dy } dx
0
または 0≦ysl, exslとして
L' { [' f(x, y)dx } dy
または
D
のように計算できます。
一般に,図4 (その平面図が図5) のように積分領
域Dの境界線が長方形でなく, 変数x,yの値に依存し
ている場合
図2
図3
図4
図5
図6
B
y
88
a
S(x)
b(v)
a(y)
領域D
B(X)
_s(y)
y
b(y)
X

Answer 1

vers

x(第一変数)でもy(第二変数)でも出来るということを言いたいだけです。
第一変数を最初に、第二変数を最後にする場合はこういう風に範囲を与えてやると、積分できます。

ぺち

ありがとうございます！先程回答して頂いた質問の問題を使うと、黒で囲った部分にかいてあるような解釈で合っていますでしょうか？再びすみません🙇🏼‍♂️

vers

これだと、緑とピンクが同じになります、ということを言ってるだけだと思います。
(もちろん、同じ文字の使用はダメですが)