Question

kk

大学の「微分積分」で出題された周波数の課題です。
（1）だけでもいいのでわかる方いらっしゃったら教えてください。

2 以下の説明を読み、 設問 (1) (6) 答えよ.
授業中に周波数を少しずらした二つの音を発生させて、唸りが聞こえるこ
とを実演した.この現象を数学的に記述してみよう。
音とは、空気の振動が空気中を伝播して耳に届くことで認識される自然現
象である. tを時刻 (単位:秒) として､振動がy=sin (ct) (cは定数) の
形で表される波を正弦波と呼ぶ。
正弦波の周波数 (単位:Hz=1/秒) とは 「波が1秒間に何回振動する
か」 を表す量である. 例えば sin (2t) は 「周波数1の正弦波」 であるが、
この音波は人間の耳には聞こえない。 人間の可聴域はだいたいf=20Hz
15,000Hz であると言われている。
(1) 周波数 f(Hz) の正弦波を時刻t (秒) の関数で表せ。 (ヒント: f
は正の整数であると考え、 t=1のときに sin の中身が 「f回回転
「した角度」を表すように定数を定めれば良い)
さて, 音波は重ね合わせの原理が成り立つ。 つまり、二つの地点から発せ
られる音波がある地点Pでそれぞれ a(t), b(t) で表されるとき, それら
を同時に発生させると P では a(t)+b(t) という音波となる.
いま周波数 f=400Hzを中心として、そこから前後に1Hz ずらした二つ
の周波数 f=399 Hz, fz = 401Hz を考えよう｡
(2) 周波数ffzの正弦波を同時に発生させたときに観測される音波
a(t) を二つの三角関数の和の形で表せ。 (式になったの値は代入
しなくて良い。)
(3) h = f1 = f +1 であることと、 三角関数の加法定理を用
いて、上の式を二つの三角関数の積(の定数倍) の形で表せ。
(4)
この積に現れる二つの三角関数のグラフの概形をt=-1からt=
1までの範囲でそれぞれ描け. (一方は正確に描くのは人間には
不可能なので雰囲気で良い。 もう一方は正確に描くこと.)
(5)
(4) を用いて音波 α(t) の概形を描け.
(6) この唸りの周期は何秒か?
以上.

中間レポート問題 [2] のヒントを送ります。
本文で説明しているように、 「音」は空気の振動が伝播す
ることで認識される現象です。 ここでは、空気分子の振動が
y = sin(at) (a:定数、 t: 時刻) で表されるような単純な状況
を考えています。 このような波は 「正弦波」 と呼ばれます
(sin = 正弦関数で表される波だから)。
desmos (オンラインのグラフ描画ツール)でいくつか正
弦波のグラフを表示してみました:
https://www.desmos.com/calculator/6sbkrone8c
まず 1. は授業でも扱った y = sin (t) のグラフです。この関
数は周期が 2 なので、 2 = 6.28 (秒) につき1回振動す
るような波です。 この ｢音」は人間には聞こません。
次に 2. は y = sin (2πt) のグラフです(番号の隣のアイコ
ンをクリックするとグラフが表示されます)。 tが0から
1 まで変化すると、 2πtは0から2まで変化するの
で、これは周期1秒・周波数 1Hz の波です。 グラフの 0≦
t≦1の範囲に、 1周期分の波があることを確認してくださ
い。
3. は y = sin(4πt) のグラフです。 tが0から1まで変化
すると、 2πtは0から4まで変化するので、これは周
期が 0.5秒 ・ 周波数 2Hz の波です。 (0≦t≦1の範囲に1
周期分の波が何個ありますか?)
問題 (1) は、この状況を一般化して､ 「周波数 f の正弦波
を y = sin(at) の形で表せ(定数aをf で表せ)」という
問題です。 (1) ができれば、 (2) 以降もきっとできると思い
ます。 (2) の答えの式を desmos で 「y = sin(...) +
sin(...)」と入力すれば、唸りの｢形｣ を見ることができるは
ずです(それが (4) の答えです)。

|||
+
~
2
3
2
-2
y =
sin(t)
y = sin(2nt)
y = sin(4nt)
W
>>>
X
X
X

微分積分 周波数